Коваленко Л.И. Элементы векторного анализа

Методические указания по математическому анализу для студентов 2 курса. — Москва: МФТИ, 2001. — 35 с.Излагаются основные понятия векторного анализа, формулы Остроградского–Гаусса и Стокса, приемы набла-техники. Доказываются первая и вторая формулы Грина в пространстве. Все демонстрируется на задачах, решение которых приводится. Система координат предполагается декартовой прямоугольной, причем правой. В настоящее издание добавлено несколько задач, требующих умения работать с терминами поля как в векторной, так и в координатной форме.
Основой для написания данного учебного пособия послужили отличные лекционные курсы математического анализа чл. -корр. РАН Л. Д. Кудрявцева, проф. М. И. Шабунина, чл. -корр. РАО Г. Н. Яковлева.Скалярные и векторные поля. Производная по направлению и градиент скалярного поля.
Задача: Для функции Φ= x²/a² + y²/b² + z²/c² найти производную по направлению внутренней нормали к цилиндрической поверхности x² + z² = a² + c² в точке M₀(a,b,c).
Решение.
Задача: Пусть a - постоянный вектор, r – радиус-вектор произвольной точки М, проведенный из фиксированной точки O. Найти grad |[r, a]|³.
Решение.
Дивергенция и поток векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в терминах поля.
Задача: а) Вычислить div(grad f(r)), б) В каком случае div grad f(r)=0?
Решение.
Задача: Вычислить поток векторного поля a =(z²− x, 1,y⁵) через ориентированную внутренней нормалью поверхность S: y² =2x, отсеченную плоскостями: x =2, z =0, z =3.
Решение.
Задача: Вычислить поток векторного поля a =(xz, 0, 0) через ориентированную в направлении внешней нормали наклонную грань S₀ поверхности тетраэдра V, ограниченного плоскостями: x=0, y=0, z=0, S₀ : x + y + z =1.
Решение.
Соленоидальные векторные поля.
Задача: Найти поток векторного поля a =grad(− e/4πr), где e =const, r — расстояние точки M₀ от переменной точки M, через любую сферу, не проходящую через M₀ и ориентированную внешней нормалью.
Решение.
Циркуляция векторного поля. Потенциальные векторные поля.
Задача: Доказать, что поле a = f(r)r, где r = |r|, f(r) – непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал этого поля.
Решение.
Ротор векторного поля. Формула Стокса в терминах поля. Механический смысл ротора.
Задача: Найти циркуляцию векторного поля a = yi+zj+xk по окружности C: x² + y² + z² = R², x + y + z =0 с заданным направлением движения против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.
Решение.
Задача: Убедившись в потенциальности поля a =(y +z)i+(x+z²)j+(x+2yz)k, вычислить работу поля вдоль дуги окружности x² + y² + z² = R², x = y в первом октанте в направлении от точки A(0, 0,R) к точке В.
Решение.
Задача: Пусть в области G заданы скалярное поле ϕ и векторное поле а = (P,Q,R), где ϕ, P,Q,R – непрерывно дифференцируемые функции. Вектор b в точке M(x,y,z) имеет компоненты b_x, b_y, b_z выраженные через частные производные заданных функций.
Используя термины поля, найти выражение для b в векторной форме.
Решение.
Однократное применение оператора Гамильтона. Градиент одного вектора по другому.
Задача: Вычислить, считая f скалярной функцией: а) div(fa); б) div(f(r)a(r)), r = |r|, r - радиус-вектор точки (x,y,z).
Решение.
Задача: Вычислить: а) div[a, b]; б) div[a(r), b], r = |r|, r - радиус-вектор точки (x,y,z); в) rot(fa), f - скалярная функция.
Решение.
Задача: Вычислить: а) rot[a, b]; б) div[r, [c, r]]; в) rot[r, [c, r]], где c - постоянный вектор, r - радиус-вектор точки (x,y,z).
Решение.
Повторное применение оператора Гамильтона. Формулы Грина в R³.
Задача: Для скалярного поля f(x,y,z), f - дважды непрерывно дифф. функция, вычислить: а) rot grad f; б) div grad f.
Решение.
Задача: Для векторного поля a =(a_x,a_y,a_z) с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами вычислить: а) div rot a; б) rot rot a.
Решение.
Задача: Вычислить rot rot rot (i + j + k)/r, где r длина радиус-вектора, i, j, k – единичные векторы, направленные по осям координат.
Решение.
Задача: Доказать первую формулу Грина в R³.
Решение.
Задача Доказать вторую формулу Грина в R³.
Решение.
Список литературы.