Боголюбов А.Н., Мухартова Ю.В. Разностные методы в математической физике

Курс лекций, читаемый на кафедре математики физического факультета МГУ. — 111 с.Предварительные сведения теории разностных схем.
Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций.
Линейные разностные уравнения порядка m.
Разностная задача Штурма-Лиувилля на отрезке.
Разностные теоремы вложения.
Контрольные вопросы.Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость.
Принцип максимума.
Каноническая форма разностных уравнений.
Принцип максимума для разностных схем на связной сетке.
Теорема сравнения. Мажоранта.
Спектральный анализ разностных схем.
Исследование схем на устойчивость по начальным данным методом гармоник.
Примеры использования метода гармоник.
Метод разделения переменных.Теория устойчивости разностных схем.
Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части.
Операторно-разностные схемы.
Понятие r-слойной операторно-разностной схемы.
Канонические формы двухслойной и трехслойной схем.
Устойчивость двухслойных схем по начальным условиям и правой части уравнения.
Классы устойчивости двухслойных схем.
Устойчивость трехслойных схем.Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики.
Продольно-поперечная схема для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами в прямоугольной области.
Структура схемы.
Аппроксимация и устойчивость продольно-поперечной схемы.
Пример исследования на устойчивость схемы со смешанными граничными условиями.
Экономичные факторизованные схемы.
Понятия факторизованной схемы.
Схемы "предиктор-корректор" для уравнения теплопроводности в прямоугольном параллелепипеде.
Схема Кранка-Николсона и ее эволюционная факторизация.
Метод суммарной аппроксимации.
Суммарная аппроксимация.
Сведение многомерной задачи к цепочке одномерных задач.
Схема Дугласа-Рекфорда.Методы решения сеточных уравнений.
Прямые и итерационные методы.
Метод монотонной прогонки и метод окаймления.
Метод немонотонной прогонки.
Метод матричной прогонки.
Итерационные методы.
Итерационные методы решения разностных уравнений как задачи на установление.
Итерационный метод переменных направлений.
Выбор оптимальных параметров итерационной схемы переменных направлений (по Жордану).
Итерационный метод на основе эволюционно-факторизованной схемы.
Некоторые итерационные методы, не сводящиеся к задаче на установление.
Метод сопряженных градиентов.
Метод сопряженных невязок.
Метод Крейга.