Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные методы решения задач строительной механики

Справочное пособие. — Минск: Вышэйшая школа, 1990. — 349 с.В пособии рассмотрены наиболее часто применяемые численные методы решения линейных и нелинейных задач строительной механики, краевых задач и задач на собственные значения.Предисловие.
Приближение функций. Методы приближенного дифференцирования и интегрирования.
Приближение функций. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона.
Общие понятия о приближении функций. Аппроксимирующие функции.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Сплайн-интерполяция.
Полиномиальный интерполяционный сплайн.
Применение сплайнов при решении задач методом конечных элементов.
Приближенное дифференцирование и интегрирование функций.
Приближенное дифференцирование функций.
Приближенное интегрирование функций с помощью формулы Симпсона.
Сглаживание экспериментальных зависимостей. Оценка погрешности решения.
Метод наименьших квадратов.
Погрешности численного решения задач строительной механики.
Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Матричная форма системы линейных уравнений.
Метод Гаусса.
Вычисление определителей и обращение матриц.
Решение систем линейных уравнений методом прогонки.
Метод прогонки для систем уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
Метод прогонки для систем уравнений с пятидиагональной матрицей коэффициентов.
Обусловленность матриц коэффициентов систем линейных уравнений.
Характеристика обусловленности матриц.
Способы улучшения обусловленности матриц.
Методы вычисления собственных значений и собственных векторов матриц.
Собственные значения и собственные векторы матриц.
Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы.
Определение наибольшего и наименьшего собственных значений симметричной матрицы.
Методы решения нелинейных алгебраических, трансцендентных уравнений и их систем.
Метод простой итерации.
Метод Ньютона — Рафсона (метод касательных).
Применение метода простой итерации к решению систем нелинейных уравнений.
Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Решение систем нелинейных уравнений методом наискорейшего спуска.
Матричные методы решения задач строительной механики стержневых систем.
Метод сил.
Применение метода сил к расчету плоских стержневых систем.
Применение метода сил к расчету пространственных стержневых систем.
Метод перемещений.
Основы метода перемещений.
Матричный вариант метода перемещений.
Динамический расчет стержневых систем.
Определение частот и форм свободных колебаний.
Расчет на вибрационную нагрузку.
Методы решения начальных и краевых одномерных задач строительной механики.
Методы решения начальных задач.
Метод Эйлера.
Метод Рунге — Кутта.
Применение метода Рунге — Кутта для приближенного решения систем дифференциальных уравнений.
Метод последовательных приближений.
Сведение одномерной краевой задачи к начальной.
Метод начальных параметров.
Метод дополнительных функций.
Применение метода Галеркина для решения одномерных краевых задач.
Решение краевых задач.
Решение задач на собственные значения.
Применение метода конечных разностей к решению одномерных краевых задач.
Решение краевых задач.
Решение задач на собственные значения.
Методы решения жестких систем уравнений.
Жесткие системы уравнений в задачах строительной механики.
Применение неявной схемы метода Рунге — Кутта для решения жестких систем уравнений.
Метод решения дифференциальных уравнений, содержащих особенности в виде обобщенных функций Хевисайда и их производных.
Основные положения метода.
Решение дифференциальных уравнений, содержащих производные от обобщенной дельта-функции.
Методы решения многомерных линейных задач строительной механики.
Метод сеток для решения уравнений в частных производных.
Основы построения разностных схем.
Разностная схема решения задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков.
Метод переменных направлений (экономичная разностная схема).
Метод разделения переменных (метод Фурье).
Решение однородных дифференциальных уравнений в частных производных.
Решение краевой задачи в одинарных тригонометрических рядах.
Решение краевой задачи в двойных тригонометрических рядах.
Методы минимизации невязки.
Общие положения метода.
Метод коллокаций.
Интегральный метод наименьших квадратов.
Метод Бубнова—Галеркина.
Метод наилучших произведений.
Методы сведения многомерных краевых задач к одномерным.
Методы прямых.
Метод Власова—Канторовича.
Метод конечных элементов.
Основные положения МКЭ.
Дискретизация конструкций с помощью конечных элементов.
Основное отличие МКЭ от метода перемещений.
Формирование матрицы жесткости конечного элемента на основе принципа возможных перемещений.
Подбор функции перемещений конечного элемента.
Расчет конструкций с применением МКЭ.
Последовательность расчета.
Расчет плоских стержневых систем.
Плоская задача теории упругости.
Применение МКЭ к расчету тонких плит и оболочек.
Расчет тонких прямоугольных плит.
Расчет скошенных плит.
Расчет ребристых плит.
Понятие о расчете оболочек методом конечных элементов.
Применение МКЭ к решению задач динамики и устойчивости строительных конструкций.
Решение задач динамики стержневых систем.
Решение задач устойчивости стержневых систем.
Определение частот свободных колебаний прямоугольных и скошенных плит.
Метод супер элементов.
Основы метода суперэлементов.
Построение матрицы жесткости и матрицы узловых нагрузок для суперэлемента.
Варианты общей схемы конденсации неизвестных в граничных узлах суперэлемента.
Вариационные методы решения задач строительной механики.
Элементы вариационного исчисления.
Функционал и его вариация.
Дифференциальные уравнения Эйлера и Остроградского.
Вариационные уравнения строительной механики.
Полная энергия деформации упругой системы.
Уравнения равновесия упругого тела.
Уравнения геометрически нелинейной теории пологих оболочек.
Уравнения равновесия.
Уравнения движения.
Прямые методы в вариационных задачах.
Общая характеристика прямых методов.
Метод Ритца.
Вариационно-разностный метод.
Метод конечных элементов как частный случай метода Ритца.
Метод Власова — Канторовича.
Сведение задач для уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Метод Власова — Канторовича в форме метода Галеркина.
Метод вариационных итераций.
Метод малого параметра.
Решение нелинейных задач строительной механики.
Представление решения задачи в виде степенных рядов.
Задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой пластинки.
Решение задач статической и динамической устойчивости стержней.
Решение задач на собственные значения.
Задача о динамической устойчивости сжатого стержня.
Методы решения линейных интегральных уравнений. Интегральные преобразования.
Основные виды интегральных уравнений.
Интегральные уравнения Фредгольма.
Интегральные уравнения Вольтерра.
Связь между линейным дифференциальным уравнением и уравнением Вольтерра.
Приближенные методы решения интегральных уравнений.
Решение с помощью резольвенты.
Метод последовательных приближений.
Решение интегральных уравнений методом Бубнова — Галеркина.
Интегральные преобразования.
Основные понятия.
Преобразование Лапласа.
Решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Решение интегральных уравнений операционным методом.
Преобразование Лапласа — Карсона и его применение в задачах теории вязкоупругости.
Преобразование Фурье.
Методы решения задач строительной механики, основанные на теории потенциала.
Метод потенциалов.
Основные понятия теории потенциала.
Интегральное представление функции.
Свойства потенциалов.
Применение метода потенциалов к решению задач Дирихле и Неймана.
Метод граничных элементов.
Основы метода. Теорема взаимности.
Построение системы уравнений метода.
Решение задачи о плоской деформации.
Выбор контрольных решений.
Вычисление коэффициентов влияния.
Определение усилий и смещений внутри области.
Методы решения нелинейных задач строительной механики.
Методы последовательных приближений.
Метод Ньютона — Канторовича решения операторных уравнений.
Модифицированный метод Ньютона — Канторовича.
Метод продолжения по параметру.
Основные положения метода продолжения по параметру.
Метод последовательных нагружений.
Метод последовательного наращивания ребер.
Методика решения геометрически нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек.
Нелинейные задачи статики.
Нелинейные задачи динамики пологих оболочек.
Методы решения физически нелинейных задач.
Основные соотношения физически нелинейной теории упругости.
Плоское напряженное состояние.
Решение физически нелинейной задачи о плоском напряженном состоянии методом малого параметра.
Метод упругих решений.
Применение метода последовательных нагружений к расчету пластинок из нелинейно-упругого материала.
Расчет гибких нитей и мембран.
Статический расчет нити.
Уточненный расчет пологой гибкой нити.
Свободные поперечные колебания гибких нитей.
Свободные поперечные колебания мембраны.
Численные методы оптимизации.
Линейное программирование.
Задачи линейного программирования.
Симплекс-метод.
Нелинейное программирование.
Задачи нелинейного программирования.
Метод наискорейшего спуска (градиентный метод).
Метод покоординатного спуска (релаксационный метод).
Метод множителей Лагранжа.
Геометрическое программирование.
Основные понятия.
Прямая задача геометрического программирования.
Приложения.
Литература.
Предметный указатель.