Лекции по курсу Высшая алгебра

Комплексные числа: обозначения, терминология. Действия над комплексными числами. Формула Муавра. Показательная (экспоненциальная) форма комплексных чисел.
Многочлены. Алгоритм Евклида. Схема Горнера. Корни многочлена. Интерполяционная формула Лагранжа. Формулы Виета. Вычисление корней многочленов. Границы корней. Общие корни двух многочленов. Результант. Дискриминант. Определители. Миноры определителя. Разложение определителя. Свойства определителя. Матричное исчисление: обозначения, терминология. Сложение матриц. Вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Специальные классы квадратных матриц. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы.Системы линейных уравнений. Общий вид системы. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Общее решение системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Линейные пространства. Подпространство линейного пространства. Линейная комбинация векторов. Матрица системы векторов. Преобразование координат вектора. Евклидовы пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональные векторы. Нормированные векторы. Нормированный базис. Линейные преобразования линейного пространства. Матрица линейного оператора. Связь между координатами вектора и его образа. Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Произведение и сумма линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейные преобразования евклидова пространства. Ортогональные операторы. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы. Квадратичные формы. Матричная запись квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы. Классификация действительных квадратичных форм.