Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу

М.: Наука, 1973. — 448 с. — (Математическая логика и основания математики).Как известно, к началу 20-го века, благодаря работам Коши, Больцано, Вейерштрасса, Кантора, Деде-кинда и Мерэ, математический анализ получил свое обоснование на базе канторовской теории множеств. Две черты наиболее характерны, по нашему мнению, для теоретико-множественного стиля мышления: 1) допущение такой далеко идущей абстракции, как абстракция актуальной бесконечности, позволяющей рассматривать «завершенные» бесконечные совокупности одновременно существующих объектов; 2) свободное применение при рассуждениях о бесконечных совокупностях обычных правил традиционной логики — в частности, допускается неограниченное применение закона исключенного третьего.
Теоретико-множественные методы позволили перейти от расплывчатых «динамических» концепций старого анализа бесконечно малых к строгой «статической» системе понятий современной теории пределов. Становящийся, развивающийся натуральный ряд заменился представлением о совокупности всех натуральных чисел, связываемый с бесконечно малой процесс свелся к понятию функции, в свою очередь трактуемому посредством актуально заданных, «завершенных» множеств пар предметов, удовлетворяющих некоторым очевидным ограничениям (в функциональном множестве не должно быть двух разных пар с одинаковой первой компонентой). Реальная или кажущаяся естественность и обозримость вводимых таким образом понятий, удобство обращения с ними, доставляемое использованием привычных логических средств, в значительной мере стимулировали развитие математического анализа и создавали ощущение предельной строгости его построений, усиливаемое практическими успехами опирающихся на анализ прикладных ветвей математики.