Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля

Монография. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 240 с.Интерес к обратным задачам спектрального анализа в последнее время вызван открытием связей обратных задач с нелинейными уравнениями математической физики.
Книга посвящена изложению современного состояния теории обратных задач спектрального анализа на примере уравнения Штурма — Лиувилля, для которого обратные задачи изучены в настоящее время наиболее полно. В последней главе рассмотрена связь обратных задач с вопросами разрешимости задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза в классе быстро убывающих, периодических и почти периодических начальных функций.
Для научных работников в области математики и физики, а также для студентов старших курсов математических и физических факультетов университетов.Предисловие.
Введение.
Операторы преобразования.
Определение и простейшие свойства операторов преобразования.
Операторы преобразования для операторов Штурма — Лиувилля с граничным условием в точке х = 0.
Операторы преобразования для операторов Штурма - Лиувилля с граничным условием на бесконечности.
Обратная задача Штурма - Лиувилля на полупрямой по спектральной функции.
Некоторые сведения о спектральных свойствах оператора Штурма — Лиувилля на полупрямой.
Вывод основного интегрального уравнения обратной задачи (по спектральной функции).
Обратная задача Штурма — Лиувилля по спектральной функции.
Разрешимость основного интегрального уравнения.
Вывод дифференциального уравнения.
Вывод равенства Парсеваля.
Обобщение основного интегрального уравнения обратной задачи.
Добавление дискретного спектра.
Условие ортогональности спектральной функции.
Случай нулевого граничного условия.
Классическая задача Штурма —Лиувилля.
Обратная периодическая задача Штурма - Лиувилля.
Определение регулярного оператора Штурма — Лиувилля по двум спектрам.
Вывод формулы для нормировочных чисел.
Асимптотическая формула для а_n.
Достаточные условия разрешимости обратной классической задачи Штурма — Лиувилля по двум спектрам.
Обратная задача квантовой теории рассеяния.
Некоторые сведения об операторе Штурма — Лиувилля на полупрямой в случае убывающего потенциала.
Дисперсионные соотношения.
Разложение по собственным функциям задачи рассеяния.
Вывод основного интегрального уравнения обратной задачи.
Обратная задача. Разрешимость основного интегрального уравнения.
Вывод дифференциального уравнения.
Вывод разложения по собственным функциям задачи рассеяния из основного интегрального уравнения.
Граничное условие в нуле.
Случай[/i] l[/i] > 0.
Обратная задача квантовой теории рассеяния при фиксированной энергии.
Основные операторы и их спектральные разложения.
Операторы преобразования.
Вывод основного интегрального уравнения обратной задачи.
Некоторые свойства ядра оператора преобразования.
Представление функций F_{Δ0, D} (r, ρ) и F_{D0, D} (r, ρ) в виде бесконечных рядов.
Потенциалы Р. Ньютона.
Обратная задача теории рассеяния на всей прямой.
Необходимые сведения из теории рассеяния для одномерного оператора Штурма — Лиувилля (Шредингера) на всей прямой.
Теорема разложения.
Вывод основного интегрального уравнения обратной задачи.
Обратная задача.
Доказательство основной теоремы обратной задачи теории рассеяния на всей прямой.
Добавление отрицательного спектра.
Достаточные условия разрешимости обратной задачи на всей прямой.
Обратная задача Штурма — Лиувилля на всей прямой по спектральной матрице-функции.
О спектральном разложении оператора Штурма - Лиувилля на всей прямой.
Вывод основного интегрального уравнения обратной задачи на всей прямой (по спектральной матрице-функции).
Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи по спектральной матрице-функции.
Уравнение Штурма — Лиувилля на всей прямой с периодическим потенциалом.
Конечнозонные потенциалы.
Решение обратной задачи Штурма — Лиувилля на всей прямой в конечнозонном случае.
Преобразование функции Вейля — Титчмарша при сдвиге аргумента в потенциале.
Формулы следов.
Бесконечнозонные потенциалы.
Обратная задача в случае бесконечного числа лакун в спектре.
Аппроксимация бесконечнозонного потенциала конечнозонными.
Квазипериодичность конечнозонных потенциалов.
Элементарные дифференциалы первого рода на двулистной римановой поверхности с конечным числом действительных точек ветвления.
Сведение обратной задачи для конечнозонных потенциалов к проблеме обращения Якоби.
Квазипериодичность конечнозонных потенциалов.
Абсолютная сходимость рядов Фурье квазипериодических функций.
Почти периодичность бесконечного иных потенциалов.
Элементарные дифференциалы первого рода на двулистной римановой поверхности II_∞ с бесконечным числом действительных точек ветвления.
Вспомогательные интерполяционные теоремы.
Исследование проблемы обращения Якоби на II_∞.
Почти периодичность бесконечнозонных потенциалов.
Связь уравнения Штурма — Лиувилля с уравнением Кортевега — де Фриза (КдФ).
Унитарная эквивалентность однопараметрического семейства операторов Штурма — Лиувилля.
Интегралы движения.
Метод обратной задачи в теории уравнения Кортевега — де Фриза.
Периодическое уравнение Кортевега — де Фриза.
Уравнения Кортевега — де Фриза в классе конечнозонных и бесконечнозонных непериодических потенциалов.
Замечания и указания к литературе.
Цитированная литература.
Предметный указатель.
Именной указатель.