Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы

Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 128 с.Учебное пособие посвящено изложению основных идей фрактальной и мультифрактальной геометрии. Примеры различных фрактальных структур можно встретить во многих явлениях природы. Фрактальные образы с успехом используются при описании хаотического поведения нелинейных динамических и диссипативных систем, турбулентного течения жидкости, неоднородного распределения материи во Вселенной, при исследовании трещин и дислокационных скоплений в твердых телах, при изучении электрического пробоя, диффузии и агрегации частиц, роста кристаллов и т. д. Много интересных идей фрактальной геометрии нашли свое применение в экономике при анализе колебаний курса валют, в биологии для объяснения морфологического строения различных биологических объектов, в физике твердого тела для описания перехода Андерсона металл-диэлектрик и других свойств неупорядоченных
систем.
Пособие написано по материалам курсов лекций, прочитанных авторами в разное время на физико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного технического университета для студентов 4-5 курсов, обучающихся на специальностях «Биофизика», «Физика металлов» и «Спектроскопия твердого тела».
Пособие будет полезно аспирантам и студентам физических специальностей, интересующихся современными проблемами физики.Регулярные фракталы.
Понятие фрактала.
Длина береговой линии.
Фрактальная размерность множества.
Канторовское множество.
Снежинка Коха.
Салфетка и ковер Серпинского.
Губка Менгера.
Кривые Пеано.
Вселенная Фурнье.
Итерации линейных систем.
Системы итерируемых функций.
Метод случайных итераций, или игра в хаос.
Игры с поворотами.
Сжимающие аффинные преобразования.
Лист папоротника.
Нелинейные комплексные отображения.
Квадратичные отображения 63
Неподвижные точки. Циклы.
Множество Жюлиа.
Множество Мандельброта и классификация множеств Жюлиа.
Построение множества Мандельброта.
Комплексные Ньютоновы границы.
Геометрическое описание мультифракталов.
Что такое мультифрактал?
Обобщенные фрактальные размерности D_q.
Фрактальная размерность D_0 и информационная размерность D_1.
Корреляционная размерность D_2.
Свойства функции D_q.
Неоднородное канторовское множество.
Неоднородный треугольник Серпинского.
Канторовское множество с двумя характерными масштабами длины.
Функция мультифрактального спектра f(alpha).
Спектр фрактальных размерностей.
Преобразование Лежандра.
Свойства функции f(alpha).
Примеры функций f(alpha).
Применение теории мультифракталов в физике.
Переход Андерсона.