Пименов В.Г., Лекомцев А.В. Современные проблемы математики. Моделирование динамических процессов

Учебное пособие. — Екатеринбург: Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина (УрФУ), 2023. — 70 с. — ISBN 978-5-7996-3646-3.В учебном пособии рассмотрены понятия предельных циклов, бифуркаций, орбитальной устойчивости, аттракторов, в том числе и многомерных. Кратко приводятся основные понятия теории функционально-дифференциальных уравнений и уравнений с дробными производными, особенно численные методы их решения.
Рекомендуется студентам, обучающимся по программе магистратуры, для самостоятельной работы во время изучения дисциплины «Современные проблемы математики. Моделирование динамических процессов».Модель — алгоритм — программа
Примеры аттракторов сложной природы в дискретных системах
Предельные циклы в дифференциальных уравнениях
Бифуркации рождения циклов
Бифуркация в широком смысле и бифуркация рождения циклов
Пример мягкой бифуркации рождения цикла
Теорема Хопфа
Пример жесткой бифуркации
Орбитальная устойчивость
Способы исследования предельных циклов
Уравнение Ван-дер-Поля: наводящие соображения
Метод точечных отображений Пуанкаре
Метод установившихся решений
Метод малого параметра
Заключительные замечания по теории предельных циклов
Аттракторы диссипативных систем
Фазовый поток. Диссипативность. Аттракторы
Модель Лоренца
Количественные характеристики аттракторов
Дробная размерность. Гипотеза Каплана–Йорка
Каскады Фейгенбаума
Некоторые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений
Примеры уравнений с запаздыванием
Метод Эйлера для уравнений с постоянным запаздыванием
Метод Эйлера с кусочно-постоянной интерполяцией для функционально-дифференциальных уравнений
Аналог метода Эйлера с пересчетом с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией для ФДУ
Дробные производные и дробные дифференциальные уравнения
История и мотивировка
Дробные производные
Примеры вычисления дробных производных
Приближенное вычисление дробных производных
Дробные дифференциальные уравнения
Аналог численного метода Эйлера для дробных дифференциальных уравнений
Задания для компьютерных экспериментов
Нахождение предельного цикла
Определение точек бифуркации
Исследование устойчивости предельного цикла с помощью признака Пуанкаре
Влияние на предельный цикл постоянных запаздываний