Курчин М.К. Математика для инженеров. Интегрирование функций и дифференциальных уравнений

Учебное пособие. — Кемерово: Кузбасский государственный технический университет (КузГТУ), 2006. — 127 с.Настоящее пособие освещает основные положения интегрального исчисления функций одной переменной и решения дифференциальных уравнений в соответствии с Государственным образовательным стандартом для технических специальностей вуза (специальность 09). Первая глава посвящена изложению понятий определенного и неопределенного интегралов. Следуя идеям академика Н.Н. Лузина, эти понятия рассматриваются одновременно, без разделения на самостоятельные темы. Во второй главе рассматриваются методы интегрирования функций. Интегрирование рациональных дробей излагается на основе метода М.В. Остроградского. Третья глава посвящена приложениям интегрального исчисления к решению геометрических, физических и механических задач. Делается главным образом упор на схему применения определенного интеграла к решению подобных задач. Методы решения дифференциальных уравнений излагаются в четвертой и пятой главах. В четвертой главе рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка, их геометрический и механический смысл. Дается обобщение приведенных способов для частных случаев дифференциальных уравнений более высокого порядка. Теория линейных дифференциальных уравнений обсуждается в пятой главе. Хотя основные теоретические сведения преподносятся в справочной форме, подробно рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений. В заключительных вопросах этой главы рассматриваются простейшие системы дифференциальных уравнений первого порядка и их приведение к одному дифференциальному уравнению n-гo порядка, что понадобится в дальнейшем при изучении элементов теории поля.Предисловие.
Интегрирование функций.
Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Первообразная функция.
Таблица основных интегралов.
Определенный интеграл, как функция верхнего предела.
Простейшие правила интегрирования.
Методы интегрирования.
Интегрирование по частям.
Приложения метода интегрирования по частям.
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование простых дробей.
Интегрирование рациональной дроби.
Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Тригонометрические подстановки.
Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла.
Площади плоских фигур.
Вычисление объема тела.
Длина дуги кривой.
Приближенное вычисление интегралов.
Схема применения определенного интеграла.
Статические моменты и центр тяжести.
Прикладные задачи.
Дифференциальные уравнения первого и высших порядков.
Общие понятия дифференциального уравнения.
Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.
Поле направлений, задача Коши, теорема Пикара, общее и частное решения.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Однородное уравнение первого порядка.
Линейное уравнение, уравнение Бернулли.
Общие понятия уравнений высших порядков.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные уравнения n-гo порядка.
Вводные понятия линейных уравнений n-гo порядка.
Линейное однородное уравнение n-го порядка. Свойства.
Линейная независимость "n" решений линейного однородного уравнения n-гo порядка.
Построение и структура общего решения линейного уравнения n-го порядка.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Случай кратных корней характеристического уравнения.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Системы дифференциальных уравнений.
Задача Коши. Общее и частное решения системы.
Приведение системы n уравнений к одному уравнению n-го порядка.
Список рекомендуемой литературы.