Курчин М.К. Математика для инженеров. Дифференцирование функций

Учебное пособие. — Кемерово: КузГТУ, 2005. — 128 с. — (Кузбасский государственный технический университет).Освещает основные положения дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных в соответствии с Государственным образовательным стандартом для технических специальностей вуза (специальность 09). В первой главе, посвященной понятию функции одной переменной, наряду с изложением основных понятий, дается обзор основных элементарных функций и их графиков. Во второй главе о пределе и непрерывности функций уделено большое внимание сравнению бесконечно малых и их эквивалентности. Рассматриваются примеры на вычисление пределов и исследование функций на непрерывность с использованием эквивалентных бесконечно малых. Изложение основных понятий производной функции и дифференциaлa дается в третьей и четвертой главах. Теоремы о средних значениях рассматриваются лишь с геометрических позиций, а теорема Коши доказывается исходя из параметрического способа задания функции. Пятая глава завершает рассмотрение функции одной переменной и содержит, кроме исследования функций, изложение формулы Тейлора и приближенного решения уравнений. В последней шестой главе в краткой форме произведено обобщение ранее изложенного материала на случай функций нескольких переменных и в качестве приложения дифференцирования таких функций рассматривается понятие градиента скалярного поля.Предисловие.
Функция.
Переменная величина и область ее изменения.
Понятие функции одной переменной.
Способы задания функции.
График функции.
Важнейшие классы функций.
Понятие обратной функции.
Обратные тригонометрические функции.
Понятие сложной функции.
Предел и непрерывность функции.
Понятие предела функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Односторонние пределы и ограниченность функции.
Предельный переход в равенстве и неравенстве; при арифметических действиях.
Непрерывность функции.
Первый замечательный предел.
Неопределенные выражения.
Сравнение бесконечно малых.
Второй замечательный предел.
Классификация разрывов функции.
Теоремы о непрерывных функциях.
Производная функции.
Задача о скорости движущейся точки.
Задача о касательной к кривой.
Определение производной.
Производные элементарных функций.
Таблица производных и формулы для приращения функции.
Правила вычисления производных.
Производная неявной функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Уравнения касательной и нормали.
Гиперболические функции.
Приложения производной.
Дифференциал функции.
Основные формулы и правила дифференцирования.
Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков.
Теоремы о средних значениях.
Раскрытие неопределенностей.
Исследование функции.
Понятие экстремума.
Достаточные признаки экстремума.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Формула Тейлора.
Приложения формулы Тейлора.
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных.
Функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные.
Частные производные высших порядков и неявной функции.
Экстремум функции нескольких переменных.
Касательная и касательная плоскость.
Производная скалярного поля по направлению.
Градиент скалярного поля.
Список рекомендуемой литературы.