Виноградов А.М. Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление

М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2021. — 365 с.Книга посвящена основам алгебраического и геометрического подхода к теории нелинейных дифференциальных уравнений. Она включает в себя идеи из теории интегрируемых систем, формальной теории дифференциальных уравнений в ее современной когомологической форме, данной Д. Спенсером и Х. Гольдшмидтом, и дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами.
Основным результатом такого синтеза является дифференциальное исчисление на новых геометрических объектах — многообразиях всех формальных решений дифференциального уравнения (диффеотопах). Это «вторичное исчисление» показывает глубокую когомологическую природу общей теории дифференциальных уравнений и указывает новые направления ее дальнейшего развития.
Автор описывает существующие и потенциальные приложения вторичного дифференциального исчисления, начиная от алгебраической геометрии и заканчивая теорией поля, классической и квантовой, включая такие области, как характеристические классы, дифференциальные инварианты, теория геометрических структур, вариационное исчисление, теория управления и т. д.
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся всеми областями математики, где используются и изучаются нелинейные дифференциальные уравнения, включая алгебраическую и дифференциальную геометрию и топологию, вариационное исчисление и теорию управления, механику сплошных сред, математическую и теоретическую физику.Предисловие
ВведениеОт симметрий уравнений с частными производными до вторичного исчисленияЧто такое симметрии уравнений с частными производными и что такое сами уравнения с частными производными?
Джеты
Контактные структуры высшего порядка
Дифференциальные уравнения — это диффеотопы
Что такое симметрии уравнений с частными производными?
Инфинитезимальные симметрии уравнений с частными производными суть вторичные квантованные векторные поля
Отступление. О симметриях уравнений с частными производными
Вторичные («квантованные») функции
Скалярные вторичные («квантованные») операторы высших порядков
Вторичные («квантованные») дифференциальные формы и C-спектральная последовательность
Как работает C-спектральная последовательность?Элементы дифференциального исчисления в коммутативных алгебрахОбщие замечания
Сопряжённые операторы
Комплексы Спенсера и формула Грина
Квадратичные лагранжианы и оператор Эйлера
Законы сохранения в линейной теории
Автоморфизмы и линейная теорема Нётер
Заключительные замечанияГеометрия контактных структур конечного порядка и классическая теория симметрий дифференциальных уравнений с частными производнымиНеобходимые сведения о геометрии пространств джетов
Структура U-преобразований
Инфинитезимальные автоморфизмы распределения Картана
Структура автоморфизмов распределения Картана на многообразиях Jk(E,n), kК