Вельмисов П.А., Маценко П.К., Покладова Ю.В. Специальные разделы высшей математики

Учебное пособие. — Ульяновск: Ульяновский государственный технический университет (УлГТУ), 2020. — 269 с. — ISBN 978-5-9795-2009-4.Пособие предназначено для бакалавров, специалистов и магистров всех специальностей, изучающих разделы «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Дифференциальные уравнения с частными производными», «Теория вероятностей и математическая статистика».
В пособии дано краткое изложение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и представлены практические рекомендации по выполнению расчетных заданий. Приводится вывод основных уравнений математической физики и постановки краевых и начально-краевых задач для них, даны примеры решения задач математической физики. Пособие содержит теоретический материал по теории вероятностей и математической статистике и множество заданий для самостоятельного решения.Обыкновенные дифференциальные уравнения
Теоретический материал и указания к решению задач
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения первого порядка – основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения первого порядка
Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Метод изоклин
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения n -го порядка – основные понятия
Уравнения, допускающие понижение порядка
Линейные дифференциальные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных
Некоторые приближенные методы решения дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Операционное исчисление и его применение при решении дифференциальных уравнений
Преобразование Лапласа и его свойства
Таблица некоторых изображений
Нахождение оригинала по изображению
Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и их систем
Задания для типового расчета
Дифференциальные уравнения с частными производными
Теоретический материал…
Основные понятия
Классификация уравнений второго порядка
Классификация уравнений с частными производными второго порядка
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными
Некоторые сведения из теории рядов и дифференциальных уравнений
Тригонометрический ряд Фурье
Задача Штурма-Лиувилля. Ряды по собственным функциям
Задачи теплопроводности
Уравнение теплопроводности
Постановка одномерных начально-краевых задач теплопроводности
Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач
Колебания струн, стержней, мембран. Движение жидкостей и газов
Уравнения поперечных колебаний струны и мембраны
Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня
Уравнения движения жидкостей и газов
Постановка начально-краевых задач для волнового уравнения
Гармонические колебания
Применение операционного исчисления к решению уравнений в частных производных
Справочный материал
Указания к решению задач
Теория вероятностей
Случайное событие
Случайное событие. Алгебраические операции над событиями
Частота события. Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Элементы комбинаторики
Комбинаторный метод вычисления классической вероятности
Геометрические вероятности
Аксиоматическое определение вероятности
Вероятности сложных событий
Формулы полной вероятности и Байеса
Повторение экспериментов. Схема Бернулли и полиномиальная схема
Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа
Случайная величина
Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина и способы ее задания
Функция распределения случайной величины
Плотность распределения случайной величины
Числовые характеристики случайной величины
Основные типы распределений случайных величин
Функции случайной величины
Система случайных величин
Элементы математической статистики
Статистический ряд
Числовые характеристики вариационного ряда
Статистические оценки параметров генеральной совокупности
Построение теоретического распределения
Статистическая проверка гипотез
Корреляционный и регрессионный анализ выборочных Данных
Приложения