Banach Stefan. Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1

Lwów: Wydawnictwo Zakładu Narodowego imienia Ossouńskich, 1929. — 298 s.Książka niniejsza przeznaczona jest do wstępnego studjum rachunku różniczkowego i całkowego. Po przeczytaniu jej czytelnik może z korzyścią przystąpić do dzieł obszerniejszych.
Staraliśmy się podać najważniejsze twierdzenia i to o ile możności z dowodami. Kilka jednak twierdzeń wypowiedzieliśmy bez uzasadnienia; uważaliśmy bowiem, że metody dowodów tych twierdzeń są za trudne do opanowania we wstępnem studjum.
Konieczną jest rzeczą, aby czytelnik przerobił większą liczbę zadań). W naszej książce ze względu na brak miejsca mogliśmy umieścić niewiele tylko zadań.
Drugi tom poświęcony rachunkowi całkowemu i zastosowaniom jest w druku. Miło nam jest podziękować p. H. Auerbachowi za pomoc, której użyczył pfzy pisaniu tej książki.Przedmowa
WstępTeoria ciągów.
Definicja ciągu
Ciągi monotoniczne
Ciągi ograniczone
Działania na ciągach
Granica ciągu monotonicznego
Ogólna definicja granicy ciągu
Pewne kryterium zbieżności
Działania na ciągach zbieżnych
Ciągi rozbieżne do ±∞
Twierdzenia o ciągach rozbieżnych do ±∞
Odcinki ciągu
Ciągi różniące się tylko porządkiem wyrazów.
Pojęcie przybliżenia
Definicja granicy
Zbieżność ciągów o równych wyrazach
Niezależność granicy od porządku wyrazów
Zbieżność ciągów częściowych
Granica ciągu o wyrazach nieujemnych
Granica sumy i różnicy ciągów
Granica iloczynu ciągów
Granica iloczynu ciągu przez liczbę
Granica ilorazu ciągów
Zbieżność ciągów monotonicznych i ograniczonych
Warunek Cauchy'ego
Ograniczoność ciągów zbieżnych
Zbieżność ciągu, zawartego między dwoma innymi
Wyznaczenie niektórych granic
Liczba e = 2,71828...Funkcje jednej zmiennej.
Przykłady funkcji. Pojęcie funkcji
Oznaczenia
Ścisła definicja pojęcia funkcji
Różne rodzaje określenia funkcji
Sposoby przedstawiania funkcji. Tablice
Wykresy
Funkcje ograniczone. Funkcje monotoniczneGranica funkcji.
Definicja granicy funkcji
Działania na granicach
Warunek istnienia granicy
Granica jednostronna
Granice niewłaściwe
Wniosek z istnienia granicy różnej od zera
Obliczenie niektórych granicCiągłość funkcji.
Definicja
Warunek konieczny i dostateczny dla ciągłości funkcji
Interpretacja geometryczna
Działania na funkcjach ciągłych
Definicja jednostajnej ciągłości
Interpretacja geometryczna
Ciągłość funkcji jednostajnie ciągłych
Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych w przedziale zamkniętym
Definicja funkcji złożonej
Ciągłość funkcji złożonej
Definicja funkcji odwrotnej
Interpretacja geometryczna
Ciągłość funkcji odwrotnej
Funkcja y = xn
Funkcja y = an, a > 0
Funkcja g = loga x, a > 0, a ≠ l
Funkcje trygonometryczne
Funkcje cyklometrycznePochodna funkcji.
Definicja pochodnej
Pochodne jednostronne
Istnienie pochodnej, a ciągłość
Pochodna jako funkcja
Interpretacje pochodnej w geometrii i fizyce
Funkcje ciągłe nie posiadające pochodnej (przykłady)
Pochodna funkcji stałej jest zerem
Pochodna funkcji y = xn
Pochodna funkcji y = a . f(x)
Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu
Pochodna funkcji złożonej
Pochodna funkcji odwrotnej
Definicja różniczki
Różniczka funkcji złożonej
Różniczka sumy, iloczynu i ilorazu
Interpretacja geometryczna różniczki
y = xn, y′x = n xn−1 (x ≠ 0)
y = loga x, y′x = 1/x loga e
y = ax, y′ = ax loga, y = ex, y′ = ex ,
Funkcje trygonometryczne
Funkcje cyklometryczne
Pochodna logarytmiczna
Pochodne wyższych rzędów
Formuła Leibnitza
Funkcje dane przedstawieniem parametrycznem
Różniczki wyższych rzędów
ZadaniaTwierdzenia Rolle'a. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora.
Twierdzenie o wartości średniej
Twierdzenie Rolle'a
Dowód twierdzenia Rolle'a
Dowód twierdzenia o wartości średniej
Wnioski z twierdzenia o wartości średniej
Pochodna funkcji złożonej
Wzór Taylora
Dowód wzoru Taylora
WypukłośćMAXIMA i minima; punkty przegięcia.
Definicja extremum
Warunek konieczny dla istnienia extremum
Warunek wystarczający dla istnienia extremum
Ogólniejszy warunek wystarczający
Punkt przegięcia
Extrema funkcji przedstawionych parametrycznie
Zadania
Symbole nieoznaczone: 0/0, ∞ / ∞
Symbole nieoznaczone: 0·∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00
ZadaniaSzeregi.
Definicja szeregu. Szeregi zbieżne
Konieczny warunek zbieżności
Szeregi ograniczone
Szeregi bezwzględnie zbieżne
Niezależność sumy od porządku wyrazów
Szeregi warunkowo zbieżne
Warunek konieczny i dostateczny dla zbieżności szeregu
Porównywanie szeregów
Kryterjum Cauchy'ego
Kryterjum d'Alemberta
Definicja zbieżności ciągu funkcji
Zbieżność jednostajna
Działania na jednostajnie zbieżnych ciągach funkcji. Warunek konieczny i wystarczający jednostajnej zbieżności
Warunek wystarczający dla ciągłości granicy
Jednostajna zbieżność szeregów
Zbieżność bezwzględnie jednostajna szeregów funkcji
Różniczkowanie ciągów i szeregów
Szeregi potęgowe
Promień zbieżności szeregu potęgowego
Ciągłość sumy szeregu potęgowego
Wyznaczanie promienia zbieżności
Różniczkowanie szeregu potęgowego
Szereg Taylora
ZadaniaFunkcje dwu zmiennych.
Zbiory płaskie. Obszary
Punkty brzegowe. Obszary domknięte
Obszary określone przez nierówności
Funkcje dwu zmiennych
Geometryczne przedstawienie funkcji dwu zmiennych
Warstwice
Definicja granicy
Twierdzenia o granicach
Ciągłość. Ciągłość jednostajna
Definicja pochodnych cząstkowych
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
Twierdzenie o przemienności różniczkowania
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Funkcje złożone
Pochodne cząstkowe funkcji złożonych
Definicja funkcji uwikłanej
Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej
Pochodne funkcji uwikłanej
Maksima i minima funkcji uwikłanych
ZadaniaWzór i szereg Taylora. MAXIMA i minima. Różniczki funkcji dwu zmiennych.
Wzór Taylora
Szereg Taylora i Maclaurine'a
Definicja extremum
Warunki konieczne dla istnienia extremum
Warunek dostateczny dla istnienia extremum.
Zadania
Definicja różniczki
Różniczka funkcji złożonej
Zastosowania do funkcji jednej zmiennej
Różniczki cząstkowe
Różniczka a przyrost funkcji.
Zadania
Różniczki wyższych rzędówFunkcje wielu zmiennych.
Obszary
Funkcje wielu zmiennych
Granica, ciągłość
Pochodne cząstkowe
Wzór i szereg Tylore'a