Єжов С.М. Теорія ймовірностей, математична статистика i випадковi процеси

Навчальний посібник для студентів фізичного факультету. — Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка (КНУ), 2001.Теорія ймовірностей, випадковi процеси i математична статистика створюють великi розділи математики та її застосувань. Їхній розвиток нерозривно пов’язаний iз загальним розвитком науки i техніки, де все більш позначається потреба давати відповідну ймовірнісну iнтерпретацію різним явищам i процесам. Теорія ймовірностей i випадкових процесів пропонує різноманітнi математичнi моделi для типових випадкових явищ та їх еволюційного розвитку.
У рамках цих моделей вивчає притаманнi їм ймовірніснi закономірностi, розробляє методи розв’язку таких важливих задач, як прогнозування, керування та іншi. Математична статистика розв’язує задачi оцінювання окремих параметрів i структури в цілому тiєї чи іншої ймовірнісної моделi за статистичними даними, дає методи перевірки різних гіпотез, рекомендує правила планування самого експерименту для отримання необхідних статистичних даних.
Математична теорія ймовірностей набуває практичної цінностi i наочний зміст у зв’язку з такими дійсними або уявними дослідами як, наприклад, підкидання монети сто разів, підкидання гральних кубиків, гра в рулетку, спостереження тривалостi життя радіоактивного ядра або життя людини, схрещення двох сортів рослин. Сюди жвіднос яться такi явища, як стать новонародженого, наявність випадкових шумів у системах зв’язку, контроль якостi промислової продукцiї, положення частинки при дифузiї, кількість подвійних зірок на різних ділянках неба тощо. Всi цi явища характеризуються тим, що для них відсутня детерміністична регулярність (тобто спостереження за ними не завжди приводять до однакових результатів). У той же час вони мають деяку статистичну регулярність. Це проявляється, наприклад, у статистичній сталостi частот.
Дійсно, розглянемо підкидання правильної монети. Зрозуміло, що заздалегідь неможливо абсолютно достовірно передбачити результат кожного підкидання. Результати окремих експериментів носять нерегулярний характер i здається, що це позбавляє нас можливостi встановити якi-небудь закономірностi, що пов’язанi з цим експериментом. Проте, якщо провести велику кількість незалежних підкидань, то можна помітити, що для правильної монети буде спостерігатися цілком визначена статистична регулярність, коли частота випадання герба буде близька до 0.5.
Статистична сталість частот робить цілком правдоподібною гіпотезу про можливість кількісної оцінки випадковостi того чи іншого явища, що здійснюється у результатi експериментів. Виходячи з цього, теорія ймовірностi постулює наявність у подiї A деякої числової характеристики P(A), що називається ймовірністю цiєї подiї, природна властивість якої повинна полягати в тому, що зi зростанням кількостi незалежних випробувань (експериментів) частота появи подiї A має наближатися до P(A).
Відносно до розглянутого прикладу це означає, що ймовірність подiї A, яка полягає у випадіннi герба при підкиданнi правильної монети, природно вважати рівною 0.5. Кількість подібних прикладів, у яких інтуїтивне уявлення про чисельне значення ймовірностi тiєї чи іншої подiї складається досить легко, можна без зусиль примножити. При цьому всi вони будуть носити схожий характер i супроводжуватися невизначеними поняттями типу чесне підкидання, правильна монета, незалежність тощо.
Теорія ймовірностей, як i будь-яка точна наука, стала такою лише тодi, коли було чітко сформульовано поняття ймовірнісної моделi, та утворено її аксіоматику.