Гребенча М.К., Новоселов С.И. Курс математического анализа. Том 1

5-е изд. — Москва: Высшая школа, 1960. — 544 с.Предисловие к первому изданию:Предлагаемый вниманию читателей курс математического анализа предназначается главным образом для студентов физико-математических факультетов, будущих учителей математики. Это обстоятельство и определило как содержание, так и характер изложения курса. Мы сочли правильным уделить значительное внимание основным понятиям математического анализа, каковыми являются понятия: функция, предел, непрерывность. Эти понятия имеют решающее значение не только для понимания самого курса анализа, но они имеют и самостоятельное значение, так как именно эти вопросы непосредственно относятся к школьной математике и ее преподаванию. По этой причине мы не считаем правильной тенденцию к скорейшему переходу от введения в анализ к дифференциальному и интегральному исчислениям. По этой же причине мы в изложении стремимся к тому, чтобы студенты получили максимально отчетливое представление об основных понятиях математического анализа...Предисловие к пятому изданию.При подготовке в 1948 г. второго издания настоящего курса книга была подвергнута коренной переработке: было полностью изменено изложение теории определенного интеграла и приближено к общепринятому; в теории пределов мы, сохранив основную концепцию, значительно упростили изложение. Мы разгрузили книгу от ряда деталей, излишних в учебнике по общему курсу математического анализа. Существенным образом был
изменен характер изложения. Излишне большой объем книги в первом издании справедливо отмечался как один из ее существенных недостатков. При переработке книги мы решительно сокращали бесполезное многословие, так вредно отражающееся на качестве учебной литературы. Известно, что первоначальное изучение математического анализа сопряжено для учащихся с трудностями, однако было бы глубокой ошибкой думать, что пространные повествования способны помочь преодолению этих трудностей. Краткое, строго систематическое и отчетливое изложение было всегда свойственно лучшим произведениям русской учебной литературы. В последующие издания внесены лишь отдельные изменения и исправления в соответствии с пожеланиями, высказанными в отзывах лиц, ведущих преподавание по данной книге.Учение о функциях.
Понятие функции.
Понятие множества.
Множество действительных чисел.
Числовые промежутки.
Понятие функции.
Функции, рассматриваемые на данном множестве.
Отображение.
Сложные функции.
Действия над функциями.
Элементарные функции.
Функции, заданные формулой.
График функции.
Некоторые специальные классы функций.
Обратная функция.
Функции, заданные параметрически.
Теория пределов.
Понятие окрестности.
Окрестности в множестве действительных чисел.
Предельные точки.
Локальные свойства функций.
Предел функции.
Некоторые замечательные пределы.
Предел функции на множестве. Односторонние пределы.
Общие теоремы о конечных и бесконечных пределах.
Теоремы о неравенствах.
Теоремы о конечных пределах.
Теоремы о бесконечных пределах.
Верхняя и нижняя грани числового множества.
Предел монотонной функции.
Число e.
Принцип стягивающихся сегментов.
Критерий Коши.
Определение предела по Гейне.
Принцип предельных точек.
Непрерывные функции.
Приращения аргумента и функции.
Функции, непрерывные в точке.
Отображение с помощью непрерывных функций.
Точки разрыва. Разрывные функции.
Теоремы о функциях, непрерывных в данной точке.
Функции, непрерывные на данном множестве.
Свойства функций, непрерывных на сегменте.
Отображение сегмента при помощи непрерывной функции.
Теоремы существования и непрерывности обратной функции.
Непрерывные линии.
Элементарные функции.
Степенная функция с целым показателем.
Многочлен.
Рациональная функция.
Степенная функция с дробным показателем.
Показательная функция на множестве рациональных чисел.
Иррациональная степень положительного числа.
Показательная функция.
Логарифмическая функция.
Степенная функция с произвольным действительным показателем.
Сложная показательная функция.
Тригонометрические функции.
Обратные тригонометрические функции.
Гиперболические функции.
Техника вычисления пределов элементарных функций.
Примеры нахождения пределов последовательностей.
Построение графиков функций.
Дифференциальное исчисление.
Производная.
Касательная к линии.
Угловой коэффициент касательной.
Производная.
Геометрическая интерпретация производной.
Механическая интерпретация производной.
Теоремы о производных.
Производные элементарных функций.
Дифференцируемые функции.
Дифференциал.
Теорема о наилучшей локальной аппроксимации.
Обозначение Лейбница.
Односторонние производные.
Бесконечные производные.
Примеры функций, имеющих разрывную производную.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Угол касательной с радиусом-вектором точки касания.
Производные высших порядков.
Производные высших порядков от сложных функций
Формула Лейбница.
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.
Производные высших порядков от обратной функции.
Преобразование дифференциальных выражений.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Основные леммы.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Формула Лагранжа.
Следствия теоремы Лагранжа.
Теорема Коши.
Теорема о промежуточном значении производной.
Точки разрыва производной.
Правило Лопиталя.
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Монотонные функции.
Теорема о неравенствах.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Локальные экстремумы.
Признаки существования локальных экстремумов.
Отыскание локальных экстремумов дифференцируемых функций.
О локальных экстремумах недифференцируемых функций.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на сегменте.
Кривые линии, вогнутые вверх и вниз, точки перегиба.
Исследование функций. Построение графиков.
Формула Тейлора.
Основная лемма.
Полиномы Тейлора.
Формула Тейлора и её остаточный член.
Формула Тейлора для простейших элементарных функций.
Теорема о наилучшей локальной аппроксимации.
Применение формулы Тейлора к исследованию функций в окрестности данной точки.
Применение формулы Тейлора к приближённым вычислениям.
Интегральное исчисление.
Отыскание примитивных функций.
Неопределённый интеграл.
Непосредственное интегрирование.
Интегрирование методом разложения.
Интегрирование методом подстановки.
Интегрирование по частям.
Интегрирование в конечном виде.
Интегрирование простейших рациональных функций.
Разложение рациональной функции в сумму элементарных дробей.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Тригонометрические и гиперболические подстановки.
Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
Метод неопределённых коэффициентов.
Определённый интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
Разбиение сегмента.
Верхняя и нижняя суммы.
Интегральные суммы.
Предел интегральных сумм.
Теорема о пределах верхних и нижних сумм.
Условия интегрируемости.
Основные классы интегрируемых функций.
Расширение понятия интеграла.
Формула Лейбница - Ньютона.
Теоремы о действиях над интегрируемыми функциями.
Свойство аддитивности интеграла.
Основные неравенства.
Теорема о среднем значении.
Интеграл как непрерывная функция верхнего предела.
Вторая теорема о среднем значении.
Интегрирование подстановкой.
Интегрирование по частям.
Примеры на применение формул интегрирования подстановкой и по частям.
Формула Валлиса.
Интеграл как аддитивная функция сегмента.
Приложения интегрального исчисления.
Вычисление площадей плоских фигур.
Вычисление объёмов тел вращения.
Длина дуги кривой линии.
Вычисление длины дуги посредством интеграла.
Длина дуги как параметр.
Площадь поверхности тел вращения.
Физические приложения интегрального исчисления.
Приближённые вычисления определённых интегралов.
Несобственные интегралы.
Простейшие несобственные интегралы.
Теоремы о простейших несобственных интегралах.
Интегралы с несколькими особыми точками.
Обобщённая формула Лейбница - Ньютона.