Уроев В.М. Уравнения математической физики

М.: Яуза, 1998. — 373 с.Книга является развернутым конспектом лекций, которые автор читал для студентов третьего курса Московского физико-технического института (МФТИ) в 1991-1998 гг.Предисловие
Классификация линейных уравнений с частными производными
Введение. Вывод основных уравнений математической физики
Приведение уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными к каноническому виду
Классификация уравнений второго порядка в точке
Задача Коши и смешанная задача для волнового уравнения
Задача Коши для гиперболических уравнений на плоскости. Формула Даламбера для волнового уравнения
Волновое уравнение в R^n. Энергетическое неравенство. Единственность решения задачи Коши
Волновое уравнение в пространстве. Формула Кирхгофа. Принцип Гюйгенса
Волновое уравнение на плоскости. Метод спуска. Формула Пуассона. Диффузия волн
Принцип Дюамеля для волнового уравнения
О корректности постановки задачи Коши для волнового уравнения. Некорректно поставленные задачи. Пример Адамара
Смешанная задача для волнового уравнения. Задача Гурса
Метод Фурье решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке. Существование и единственность классического решения
Задача Коши и смешанная задача для уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности. Принцип максимума
Единственность решений задачи Коши и смешанной задачи для уравнения теплопроводности
Построения функции источника для уравнения теплопроводности при помощи автомодельного решения
Формула Пуассона решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности
Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности
Смешанная задача для распространения тепла в полуограниченном стержне
Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке методом Фурье. Существование и единственность классического решения
Некоторые свойства оператора Лапласа. Функции Бесселя и их применение
Ортогональность собственных функций симметричного оператора. Формулы Грина для оператора Лапласа. Правильная нормальная производная. Симметричность и положительная (неотрицательная) определенность оператора "-Laplace" с граничными условиями Дирихле (Неймана)
Дифференциальное уравнение Бесселя. Неограниченность в нуле общего решения. Функции Бесселя первого рода
Существование счетного числа нулей функции Бесселя первого рода. Ортогональность функций Бесселя
Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности в круге
Первоначальные сведения об уравнении Пуассона. Задача Дирихле в R^2
Уравнение Пуассона. Принцип максимума для гармонических функций. Корректность постановки внутренней задачи Дирихле
Решение задачи Дирихле для уравнение Лапласа в круге в случае непрерывной граничной функции. Краевые задачи в кольце
Элементы теории обобщенных функций
Обобщенные функции. Пространства D и D'. Дифференцирование в D'
Пространство Шварца S. Пространство S'. Преобразование Фурье
Прямое произведение и свертка обобщенных функций
Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора. Фундаментальное решение оператора Лапласа в R^3
Фундаментальное решение задачи Коши для простейших эволюционных уравнений
Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
Фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравнения
Свойства гармонических функций. Задача Пуассона. Задача Дирихле в R^3
Оператор Лапласа в сферических координатах. Интегральное представление для гладких функций
Гармонические функции: бесконечная дифференцируемость, теорема о среднем, принцип максимума, теорема о стирании особенности
Функция Грина задачи Дирихле. Симметричность функции Грина. Решение задачи Дирихле с помощью функции Грина
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре (интеграл Пуассона). Преобразование Кельвина
Регулярность гармонической функции на бесконечности. Задача Пуассона: единственность решения, формула Пуассона
Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере (сферические функции)
Теория Фредгольма для интегральных уравнений
Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
Интегральные уравнения с малым непрерывным ядром. Ряд Неймана. Резольвента и резольвентное ядро
Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Сведение к уравнениям с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
Симметричность интегрального оператора с эрмитовым ядром. Теорема Гильберта-Шмидта для истокообразно представимых функций
Задача Штурма-Лиувилля
Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с эрмитовым ядром
Свойства спектра задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова
Решение краевых задач для уравнения Лапласа в R^3 с помощью потенциалов простого и двойного слоя
Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа в R^3. Вопросы единственности
Потенциалы простого и двойного слоя и их свойства (без доказательства). Потенциал двойного слоя в случае постоянной плотности
Сведение внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана к интегральным уравнениям. Применение теории Фредгольма
Сведение внешней задачи Дирихле и внутренней задачи Неймана к интегральным уравнениям. Потенциал РобэнаФормат файла: DJVU, содержит внедренный текстовый слой, интерактивное оглавление.