Закс Ш. Теория статистических выводов

М.: Мир, 1975. — 776 с.В книге систематически изложены основные разделы теории статистических выводов. Наиболее подробно рассмотрены методы получения оценок, эффективность оценок при квадратичной функции потерь, свойства оценок максимального правдоподобия, а также вопросы допустимости различных оценок. Строгие утверждения комментируются пояснительными примерами, в конце каждой главы помещены задачи, значительная часть которых представляет самостоятельный интерес. Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов, преподавателей и специалистов по теории вероятностей и математической статистике.Книга включает в себя следующие темы:Краткий обзор всех рассматриваемых тем
Достаточные статистики (Введение и примеры; Статистики, подполя и условное ожидание; Определение достаточных статистик и критерий факторизации Неймана — Фишера; Существование и построение минимальных достаточных статистик; Минимальные достаточные статистики и экспоненциальное семейство; Достаточность и полнота; Достаточность и инвариантность; Достаточность и транзитивность для последовательных моделей; Сравнение экспериментов и достаточные статистики; Достаточные статистики и апостериорные распределения. Байесовское определение достаточности)
Несмещенное оценивание (Параметрический случай. Общая теория; Несколько примеров несмещенных оценок с минимальной дисперсией в параметрическом случае; Несмещенные оценки с локально минимальной дисперсией; Несмещенные оценки с минимальной дисперсией в случае однопараметрического экспоненциального семейства плотностей; Несмещенное оценивание параметра положения; Несмещенное оценивание параметров масштаба; Непараметрическое несмещенное оценивание; Линейные несмещенные оценки; Наилучшие линейные комбинации порядковых статистик)
Эффективность оценок при квадратичной функции потерь (Нижняя граница Крамера— Рао в однопараметрическом регулярном случае; Система нижних границ Бхаттачария для однопараметрических регулярных семейств; Случай регулярных функций распределения, зависящих от векторного параметра; Неравенство Крамера — Рао при последовательном оценивании в регулярном случае; Асимптотическая эффективность оценок)
Оценивание по методу максимального правдоподобия (Метод максимального правдоподобия; Численные методы; Строгая состоятельность оценок максимального правдоподобия; Асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия; Наилучшие асимптотически нормальные оценки; Асимптотический риск оценок максимального правдоподобия; Оценивание по методу максимального правдоподобия по группированным, усеченным и цензурированным данным)
Байесовское и минимаксное оценивание (Структура байесовских оценок; Байесовские оценки при квадратичной и выпуклой функциях потерь; Обобщенные байесовские оценки; Асимптотическое поведение байесовских оценок; Минимаксное оценивание; О процедурах оценивания при частичной априорной информации; Частичная априорная информация и параметрическая достаточность; О некоторых минимаксных последовательных процедурах оценивания; Эмпирические байесовские процедуры; Асимптотически оптимальное байесовское последовательное оценивание)
Эквивариантные оценки (Структура эквивариантных оценок; Эквивариантные оценки параметров сдвига; Теоретико-групповая структурная модель и инвариантные интегралы Хаара; Фидуциальная теория и эквивариантные оценки с минимальным риском; Модифицированный принцип минимакса и обобщенная теорема Ханта — Стейна; Последовательное эквивариантное оценивание; Байесовские эквивариантные и фидуциальные оценки для моделей с мешающими параметрами)
Допустимость оценок (Основные понятия теории допустимости и полноты классов; Допустимость при квадратичных потерях; Допустимость и минимаксность в усеченных пространствах при квадратичных потерях; Допустимость оценок Питмена одномерного параметра сдвига; Недопустимость некоторых обычно используемых оценок; Более общая теория допустимости эквивариантных оценок одномерного параметра сдвига; Допустимость в общем последовательном случае; О допустимости выборочного среднего среди полиномиальных несмещенных эквивариантных оценок; Допустимость оценок и процедур при выборе из конечной совокупности)
Проверка статистических гипотез (Проверка многих гипотез. Байесовские и минимаксные процедуры для выборки фиксированного объема; Монотонные процедуры проверки гипотез. Случай выборки фиксированного объема; Эмпирический байесовский подход к проверке многих гипотез; Байесовская последовательная проверка гипотез. Общая теория; Последовательный критерий отношения правдоподобия Ра льда для проверки двух простых гипотез; Байесовская оптимальность последовательного критерия отношения правдоподобия Вальда; О некоторых аналогах с непрерывным временем; Еще о построении байесовского последовательного правила остановки при проверке многих гипотез; Байесовские последовательные правила остановки и задача Стефана со свободной границей; Асимптотически оптимальные процедуры проверки гипотез)
Доверительные и толерантные интервалы (Наиболее точные доверительные интервалы. Однопараметрический случай; Доверительные интервалы для модели с мешающими параметрами; Ожидаемая длина доверительных интервалов; Толерантные интервалы; Непараметрические доверительные и толерантные интервалы; Байесовские и фидуциальные доверительные и толерантные интервалы; Задача доверительного оценивания интервалами фиксированной ширины. Несколько частных случаев; Общие теоремы существования многоступенчатых и последовательных процедур доверительного оценивания интервалами фиксированной ширины; Асимптотически эффективные последовательные доверительные интервалы фиксированной ширины для среднего нормального распределения; Асимптотически эффективное последовательное оценивание среднего доверительными интервалами фиксированной ширины. Общий случай)