Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре. Часть 1, 2

СПб.: Без издательства, 2016. — 322 с. — ISBN: 979-5-983-40069-5.В настоящем пособии излагаются основные понятия, методы и алгоритмы классической высшей алгебры как науки о решении уравнений и систем уравнений. Помимо изложения теории и примеров, книга включает в себя упражнения, а также некоторые справки из истории математики (в т.ч. некоторые упражнения). В некоторых примерах авторами намеренно оставлены пропуски в математических выражениях, чтобы читатель смог заполнить их.
Книга предназначена для студентов университетов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика.Решение уравнений и систем уравнений
Начала теории целых чисел
Бином Ньютона
Наибольший общий делитель
Алгоритм Евклида
Делимость чисел
Взаимно простые числа
Простые числа
Каноническое разложение числа
Признаки делимости
Факторизация
Функция Эйлера
Сравнения
Основные понятия
Классы вычетов
Теоремы Ферма и Эйлера
Решение сравнений с одним неизвестным
Линейные сравнения
Комплексные числа
Определение
Тригонометрическая форма комплексного числа
Неравенства для модуля
Формула Муавра
Упрощение тригонометрических выражений
Извлечение корня из комплексного числа
Квадратный корень
Общий случай
Корни из единицы
Полиномы и рациональные функции
Формулы Виета
Основная теорема высшей алгебры
Вводные замечания
Доказательство основной теоремы
Поиск комплексного корня
Дальнейшие свойства системы (1.4)
Делимость полиномов
Наибольший общий делитель
Взаимно простые полиномы
Формула Тейлора
Выделение кратных корней
Установление кратности корня
Решение уравнений, имеющих кратные корни
Корни полинома с вещественными коэффициентами
Приводимость
Границы расположения корней
Геометрия корней
Правило знаков Декарта
Приводимость полиномов в Q
Численные методы нахождения корней полинома
Метод Руффини-Хорнера
Метод Лагранжа (непрерывных дробей)
Метод Ньютона (касательных)
Системы линейных уравнений Матрицы и определители
Решение системы линейных уравнений: метод Гаусса
Определения
Метод Гаусса
Матрицы: основные определения
Определение определителя
Определитель второго и третьего порядка
Определитель n-го порядка
Свойства перестановок
Элементарные свойства определителя
Миноры и алгебраические дополнения
Формулы Крамера
Теорема Лапласа
Теорема Бине—Коши
Определители специального вида
Определитель Вандермонда
Ганкелев определитель
Ленточный определитель
Характеристический полином
Обратная матрица
Ранг
Ранг системы рядов
Ранг матрицы
Условия совместимости линейно системы
Теорема Кронекера-Капелли
Система однородных уравнений
Интерполяция
Интерполяционный полином
Постановка задачи
Интерполяционный полином в форме Лагранжа
Интерполяционный полином в форме Ньютона
Приближенная интерполяция
Метод наименьших квадратов
Псевдорешения линейной системы
Квадратичные формы
Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа
Определение
Канонический вид
Формула Якоби
Метод Лагранжа и метод Гаусса
Матричный формализм метода Гаусса
Формула Якоби
Закон инерции
Ранг квадратичной формы
Закон инерции
Конгруэнтность кв форм
Положительная определенность
Локализация корней полинома
Теорема Штурма
Система полиномов Штурма
Построение системы полиномов Штурма с помощью алгоритма Евклида
Условия вещественности всех корней полинома
Ганкелевы матрицы в задаче локализации корней
Формулы Ньютона
Теорема Якоби
Отделение корней
Некоторые алгебраические структуры
Группа
Бинарная операция
Определение группы
Примеры групп
Образующие элементы группы
Подгруппа
Изоморфизм групп
Кольцо, поле, алгебра
Линейные пространства и отображения
Линейные пространства и многообразия
Основные определения
Линейная зависимость, базис
Сумма и пересечение линейных подпространств
Прямая сумма линейных подпространств
Относительная линейная независимость Факторпространство
Преобразование координат при замене базиса
Линейные отображения
Пространство линейных отображений
Линейное отображение
Свойства линейных отображений
Ядро и образ линейного отображения
Матрица линейного отображения
Определение
Канонический вид матрицы линейного отображения
Линейный оператор
Основные свойства
Матрица оператора
Инвариантные подпространства оператора
Инвариантное подпространство
Собственные числа и собственные векторы
Диагонализируемость матрицы оператора
Структура и свойства хар. полинома
Каноническое представление хар. полинома
Теорема Гамильтона—Кэли
Диагонализуемость матрицы над R
Диагонализуемость симметричной матрицы над R
Свойства собств чисел и собств. векторов
Диагонализуемость
Локализация собств чисел
Экстремальное свойство собств чисел
Жорданова нормальная форма в C
Общая схема
Аннулирующий полином
Корневые векторы
Циклическое подпространство
Применения жордановой нормальной формы
Матричный полином
Структура степенной функции от матрицы
Вычисление матричного полинома
Линейное разностное уравнение
Аналитика
Асимптотика
Применение ж. н. ф. в теории вероятностей
Некоторые вспомогательные результаты
Задача о разорении игрока
Цепи Маркова
Матричный степенной ряд
Норма матрицы. Матричный ряд
Матричный степенной ряд
Дифференцирование матрицы
Экспоненциал матрицы
Другие специальные функции матрицы