Ерусалимский Я.М., Чернявская И.А. Алгебра и геометрия: теория и практика

Электронное издание, 351 с.I. Метод координат.
1.1 Числовая прямая (ось). Координаты точек на оси. Направленные отрезки. Аналитическая геометрия на прямой.
1.2 Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
1.3 Деление отрезка в заданном отношении.
1.4 Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.
1.4.1 Полярные координаты.
1.4.2 Связь между декартовыми и полярными координатами.
1.4.3 Сферические координаты.
1.4.4 Цилиндрические координаты.
1.5. Преобразования координат.
1.5.1 Параллельный перенос.
1.5.2 Поворот относительно начала.
1.5.3 Общее преобразование декартовых координат.
1.6 Понятие об уравнениях линий и поверхностей.
II. Прямая на плоскости.
2.1 Векторы и их координаты. Простейшие понятия.
2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2.3 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент.
2.4 Уравнение прямой, проходящей через две точки.
2.5 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющий заданный направляющий вектор.
2.6 Уравнение прямой в отрезках на осях.
2.7 Параметрические уравнения прямой.
4 2.8 Нормальное уравнение прямой.
2.9 Общее уравнение прямой.
2.9.1 Свойства общего уравнения прямой. Геометрический смысл коэффициентов.
2.9.2 Теорема о разделении плоскости на полуплоскости общим уравнением прямой.
2.9.3 Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
2.9.4 Теорема об «устойчивости» общего уравнения относительно преобразования координат.
2.9.5 Пучок прямых.
2.10 Линейная и кусочно-линейная интерполяция.
III. Кривые второго порядка.
3.1. Канонические уравнения.
3.1.1 Эллипс.
3.1.2 Гипербола.
3.1.3 Парабола.
3.2. Общая теория кривых второго порядка.
IV. Алгебра матриц.
4.1. Понятие о матрице.
4.2. Сумма матриц и умножение матрицы на число.
4.3. Умножение матриц.
4.4. Обратная матрица.
V. Система линейных уравнений (СЛУ).
5.1. СЛУ. Матричная запись.
5.2. Равносильные преобразования СЛУ.
5.3 Метод исключения неизвестных (Метод Гаусса).
5.4 Решение матричных уравнений методом Гаусса.
VI. Определители.
6.1. Перестановки и подстановки.
6.2. Определители.
6.3. Свойства определителей.
6.4. Миноры и алгебраические дополнения.
6.5. Критерий обратимости матрицы.
VII. Комплексные числа.
7.1. Комплексные числа: алгебpаический подход.
7.1.1 Аpифметические опеpации над комплексными числами.
7.1.2 Понятие о поле.
7.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
5 7.3. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.
7.4 Деление комплексных чисел.
7.5 Свойства модуля и комплексного сопряжения.
7.6. Корни из комплексных чисел.
VIII. Многочлены (алгебраическая теория).
VIII. Многочлены (алгебраическая теория).
8.1. Определение многочлена. Степень многочлена.
8.2. Деление во множестве многочленов.
8.2.1 Деление с остатком.
8.3. Корни многочлена. Разложение по корням.
8.3.1 Основная теорема алгебры (ОТА).
8.4. Многочлены с вещественными коэффициентами.
IX. Линейные пространства.
9.1. Определение и примеры линейных пространств.
9.2 Размеpность и базис линейного пpостpанства.
9.3 Изоморфизм линейных пространств.
9.4. Матрица перехода от базиса к базису.
X. Векторы. Аналитическая геометрия в пространстве.
10.1 Сумма векторов и умножение вектора на число.
10.1.1 Умножение вектора на число.
10.1.2 Сумма векторов.
10.2 Проекция вектора на ось.
10.3 Скалярное произведение векторов.
10.3.1 Свойства скалярного произведения.
10.3.2 Декартовы координаты вектора и скалярное произведение.
10.3.3 Координатная формула для скалярного произведения.
10.4 Векторное произведение векторов.
10.4.1 Свойства векторного произведения.
10.5. Смешанное произведение векторов.
10.6. Прямая и плоскость в пространств.
10.6.1 Уравнения плоскости.
10.6.2 Прямая в пространстве.
10.7 Поверхности второго порядка.
10.7.1 Понятие об общем уравнении поверхности второго порядка и его упрощении.
10.7.2 Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.
10.8 О проблеме обоснования метода координат и оснований геометрии.
XI. Ранг матрицы и его приложения.
11.1. Ранг матрицы и его определения.
11.2. Вычисление ранга.
11.3. Приложения понятия «ранг матрицы».
11.4 Пространство решений ОСЛУ.
XII. Линейные пространства со скалярным произведением (евклидовы пространства).
12.1. Скалярное произведение в Rn.
12.2 Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
12.2.1 Евклидовы пространства.
12.2.2 Неравенство Коши-Буняковского.
12.3. Ортогональный базис. Ортогонализация. Проекция вектора на подпространство. Ортогональная составляющая, расстояние до подпространства.
XIII. Линейные операторы и их матрицы.
13.1 Линейный оператор.
13.2 Линейные операторы в конечномерных пространствах и их матрицы.
13.3. Композиция линейных операторов.
13.4. Собственные значения и собственные векторы.
13.5. Ядро и образ линейного оператора. Линейные уравнения в конечномерных пространствах.
13.5.1 Ядро линейного оператора.
13.5.2 Образ линейного оператора.
13.5.3 Линейные уравнения в конечномерных пространствах.
XIV. Линейные операторы в евклидовых пространствах.
14.1 Сопряженный оператор и его матрица.
14.2 Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования.
14.3 Самосопряженные операторы.
14.4 Спектральная теория самосопряженных операторов.
XV. Билинейные и квадратичные формы.
15.1 Билинейная форма и её матрица.
15.2 Симметрические билинейные формы.
15.3 Квадратичные формы и их матрицы.
15.4 Канонический вид квадратичной формы.
15.5 Классификация квадратичных форм. Знакоопределенные формы.
XVI. Практикум по геометрии.
Г1. Прямая линия на плоскости.
Г1.1 Задачи для самостоятельного решения.
Г2. Кривые второго порядка (элементарная теория).
Г2.1 Задачи для самостоятельного решения.
Г3. Общая теория кривых второго порядка.
Г3.1 Задачи для самостоятельного решения.
Г4. Векторная алгебра.
Г4.1 Задачи для самостоятельного решения.
Г5. Прямая и плоскость в пространстве.
Г5.1 Задачи для самостоятельного решения.
XVII. Практикум по алгебре.
А1. Системы линейных уравнений.
A1.1 Примеры для самостоятельного решения.
А2. Определители.
A2.1 Примеры для самостоятельного решения.
А3. Алгебра матриц.
A3.1 Примеры для самостоятельного решения.
А4. Комплексные числа.
A4.1 Примеры для самостоятельного решения.
А5. Многочлены.
A5.1 Примеры для самостоятельного решения.
А6. Линейные пространства.
A6.1 Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора . 305 A6.2 Связь координат вектора в двух разных базисах. Матрица перехода.
A6.3 Линейные подпространства.
A6.4 Ранг матрицы.
A6.5 Линейные оболочки.
A6.6 Множество решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений (ФСР).
A6.7 Примеры для самостоятельного решения.
А7. Евклидовы пространства.
A7.1 Примеры для самостоятельного решения.
А8. Линейные операторы в конечномерном пространстве.
A8.1 Матрица линейного оператора. Ядро, образ оператора.
A8.2 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
A8.3 Линейные операторы с симметрическими матрицами в евклидовых пространствах.
A8.4 Примеры для самостоятельного решения.
А9. Квадратичные формы.
A9.1 Примеры для самостоятельного решения.