Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного исчисления. Функции многих переменных. Том I. Часть 2

М.; Л.: Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР, 1935. — 400 с.Первая часть „Основ вариационных исчислений", посвященная функциям конечного числа переменных и их экстремумам, вышла отдельной книжкой. Настоящая книга, II—IV части, содержит несколько расширенный университетский курс. Мы начинаем ее с „Основных понятий и методов вариационного исчисления". На этой части (II) мы сознательно остановились более подробно, так как, с одной стороны, эти понятия имеют фундаментальное значение в анализе вообще; с другой стороны, овладение основными понятиями и методами математической дисциплины не менее важно, чем овладение ее рецептурой.
Начало II части естественно примыкает к I части: вариационные задачи здесь рассматриваются как предельные задачи на экстремум функций конечного числа переменных. Сначала решаются отдельные частные вариационные задачи, затем делается переход к решению общей задачи. Подобные элементарные методы (конечно в другом изложении — инфинитезимальном) были характерны для первого развития вариационного исчисления. Но и после создания более общих формализированных методов элементарные приемы могут иметь преимущество при решении отдельных задач.
Теорию функции конечного числа переменных мы начинали с n-мерной геометрии, рассматривая функции многих переменных как функции точки в n-мерных пространствах. Вариационное исчисление расширяет понятие функции. Современная геометрия соответственным образом обобщает основные геометрические понятия. В главе VI (и в начале главы VII) мы приводим элементы абстрактной геометрии. Вариационное исчисление с точки зрения современной математики есть дифференциальное исчисление для функций более общей природы, развертывающейся на пространствах более общей природы.
Часть III изучает основные классические вариационные задачи с точки зрения необходимых условий.
Глава XIII части IV содержит теорию второй вариации для простейшей и изопериметрической задачи. С нею связаны дифференциальные уравнения Штурма-Лиувилля. Наряду с теорией слабого экстремума и сопряженных точек, в ней приводится экстремальная теория собственных значений Куранта. В ней же иллюстрируется предельный переход от функции конечного числа переменных к функционалам.
Глава XIV содержит излагаемую в геометрической форме теорию поля и достаточные условия Вейерштрасса.Основные понятия и методы вариационного исчисления.
Переход от экстремумов функций многих переменных к вариационным задачам
Функционал.
Элементарное решение некоторых вариационных задач.
Принцип Мопертюи-Эйлера. Аналогия между оптикой и механикой.
Элементарное решение некоторых изопериметрических задач.
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Приложения.
Метод счетного множества переменных.
Обобщение основных понятий анализа
Дополнительные замечания об экстремумах функционалов.
Абсолютный и относительный экстремум.
Окрестности кривых. Сильный и слабый экстремум.
Абстрактные пространства.
Предельные соотношения в абстрактном пространстве.
Функция точки абстрактного пространства.
Линейные пространства.
Дифференциал функции на линейном пространстве.
Экстремум функции точки линейного пространства.
Функционалы и вариация
Функциональные пространства.
Компактность в функциональных пространствах.
Линейные функционалы и вариации.
Вариации для простейшего функционала.
Основные леммы вариационного исчисления.
Вариация в точке. Инвариантность уравнения Эйлера.
Вторая вариация и условие Лежандра.
Применения метода вариаций
Непосредственные обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
Пространственная задача.
Вариация в точке в данном направлении. Принцип Гамильтона.
Вторая вариация. Условия Лежандра.
Свободные концы. Случай конца, перемещающегося по ординате.
Условие трансверсальности.
Дифференциал в нелинейном метрическом пространстве.
Вариация интегралов от экстремалей.
Случай свободных концов в пространственной задаче.
Случай производных высшего порядка.
Случай функций многих переменных.
Условный экстремум
Изопериметрическая задача.
Правило множителей Эйлера-Лагранжа.
Условие Лежандра.
Условный экстремум.
Трансверсальность.
Применение к теории геодезических.
Условный экстремум (неголономные связи).
Вариационные задачи в параметрической форме
Параметрическая форма задания кривых.
Условия однородности.
Экстремумы функций от линии.
Обобщения и приложения.
Замкнутые экстремали. Метод нормальных вариаций.
Приложения к теории геодезических.
Разрывные задачи
Ломаные экстремали.
Преломление экстремалей.
Отражение экстремалей.
Случай свободных концов.
Односторонние вариации
Односторонние вариации для простейшей задачи.
Задача Ньютона (поверхность вращения наименьшего сопротивления).
Пространственная задача.
Семейства экстремалей и достаточные условия.
Вторая вариация и линейные вариационные задачи
Предварительные замечания.
Существование минимума квадратических функционалов.
Уравнение Штурма-Лиувилля.
Условия положительности формы.
Слабый экстремум.
Уравнения в вариациях.
Геометрическая теория сопряженных точек.
Экстремальная теория собственных значений.
Минимаксные экстремали.
Теория Лежандра-Якоби квадратических функционалов.
Квадратический функционал JаЬ как предел конечных квадратических форм.
Вторая вариация для изопериметрической задачи.
Уравнение в вариациях и сопряженные точки для изопериметрической задачи.
Теория поля и достаточные условия сильного экстремума
Геометрия экстремалей.
Поле экстремалей и трансверсали.
Теория Кнезера.
Условия Якоби.
Геодезические эллипс и гипербола.
Метод интегрирования Якоби.
Функция Вейерштрасса.
Необходимые условия Вейерштрасса.
Достаточные условия сильного экстремума.
Теорема Осгуда.
Дополнение I. Экстремальные свойства выпуклых тел.
Дополнение II. О некоторых экстремальных задачах теории конформных отображений.
Дополнение III. Применение метода Ритца к доказательству существования решений уравнения Штурма-Лиувилля.