Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа

Учебное пособие. — М.: Просвещение, 1968. — 308 с.: ил.В данном пособии излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа.ПредисловиеТеория функции действительного переменного
Общая теория множеств
Понятие множества
Конечные и бесконечные множества
Подмножества, включение
Теоретико-множественные операции
Эквивалентность множеств
Понятие мощности. Кардинальные числа
Сравнение мощностей
Существование сколь угодно высоких мощностей
Счетные множества
Упражнения к главеТеория точечных множеств
Множества рациональных чисел
Множество действительных чисел
Множество мощности континуума
Множества пространства Еп
Предельные точки
Замкнутые и открытые множества
Строение линейных открытых и замкнутых множеств
Множество Кантора и его свойства
Мощность совершенного множества
Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества
Упражнения к главеФункции
Общее понятие функции
Верхняя и нижняя грани функции. Колебание
Непрерывность
Основные свойства непрерывных функций
Точки разрыва.
Точки разрыва монотонной функции
Функции с ограниченным изменением
Упражнения к главеНепрерывные кривые
Понятие непрерывной кривой
Кривые Жордана
Кривые Пеано
Кривые Кантора и Урысона
Спрямляемые кривые
Упражнения к главе IvМера
Мера Жордана для линейных множеств
Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубируемые множества
Мера Лебега для линейных множеств Пэ
свойства множеств, измеримых по Лебегу
Измеримые функции
Упражнения к главеИнтеграл
Интеграл Римана
Теорема Лебега
Интеграл Стилтьеса
Интеграл Лебега
Упражнения к главеЭлементы функционального анализа
Метрические пространства
Основные понятия
Примеры метрических пространств
Полнота метрических пространств
Теорема о замкнутых шарах
Метод сжатых отображений
Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений
Применение метода сжатых отображений в алгебре
Применение метода сжатых отображений в математическом анализе
Упражнения к главеСепарабельность и компактность
Сепарабельность пространств Ею С и р
Сепарабельность пространства Lp
Пространство т как пример несепарабельного пространства..
Компактность множеств пространства Еп
Общий критерий компактности
Компактность множеств в пространстве С
компактность множеств в пространстве р
Компактность множеств в пространстве LpНепрерывные функционалы и операторы
Непрерывные функционалы
Общие свойства непрерывных функционалов
Равномерная непрерывность функционала
Непрерывные операторы
Свойства непрерывных операторов
Упражнения к главе IxЛинейные функционалы, линейные операторы
Линейные пространства
Линейные функционалы
Свойства линейных функционалов:
Слабая сходимость линейных функционалов
Линейные операторы
Свойства линейных операторов
Упражнения к главеПрименения функционального анализа в вариационном исчислении
Дифференциал, вариация линейного функционала
Экстремум дифференцируемого функционала
Уравнение Эйлера
Решение задачи о брахистохроне
Задача о наименьшей поверхности вращения
О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении
Упражнения к главеПрименения функционального анализа в теории интегральных уравнений
Вопрос о существовании решения интегрального уравнения..
Вполне непрерывные операторы
Теорема В. В. Немыцкого
Линейные интегральные уравнения
Собственные значения, спектр
Метод последовательных приближений, построение резольвенты
Упражнения к главеТеория функций комплексного переменного
Гармонические функции
Основные определения
Свойства гармонических функций и гармонических пар...
Теорема Дзядыка
Понятие конформного отображения
Конформность отображения гармонической парой
Коэффициент растяжения
Упражнения к главеКомплексные числа, последовательности, ряды
Комплексное числе как оператор
Плоскость Гаусса
Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа
Действия над комплексными числами
Числовые последовательности и ряды
Признак Коши — Адамара
Степенные ряды
Упражнения к главеФункции комплексного переменного, аналитические функции
Непрерывность функции комплексного переменного
Дифференцируемость функции комплексного переменного
Определение и свойства аналитической функций
Конформность отображения аналитической функции
Упражнения к главеЭлементарные аналитические функции, конформные отображения
Линейная функция
Бесконечно удаленная точка
Функция f(z) =
Дробно-линейная функция
Степенная функция. Поверхность Римана
Показательная функция
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
Логарифмическая функция
Упражнения к главеИнтеграл. Ряд Тейлора
Интеграл
Существование и вычисление интеграла. Свойства интеграла.
Теорема Коши
Интегральная формула Коши
Разложение аналитической функции в степенной ряд
Ряд Тейлора
Теорема единственности для аналитических функций
Понятие об аналитическом продолжении
Определение класса аналитических функций
Упражнения к главеО применениях теории функций комплексного переменного
О применениях в математическом анализе
О применениях в алгебре
О применениях в картографии
О применениях в гидро- и аэромеханике
Функция Н. Е. Жуковского
Критерий Рауса — Гурвица
Упражнения к главеДополнительная литература
Алфавитный указатель
Указатель специальных знаков