Чеботарев А.М. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику для физиков

М.: МФТИ, 2008. — 248 с.Теоретический материал иллюстрируется примерами численного решения задач с помощью системы аналитических вычислений Mathematica, освоение которых полезно для студентов и аспирантов, изучающих вероятностные методы в физике. Мы знакомим читателя с применениями критериев Пирсона, Стьюдента, Фишера, Колмогорова и Смирнова для проверки статистических гипотез и определения параметров методом наименьших квадратов. Во второй части курса рассматриваются эргодические свойства случайных процессов, методы моделирования случайных блужданий и броуновского движения, а также численные методы Монте-Карло. В первую очередь здесь излагаются способы получения и преобразования случайных величин и обсуждаются различные критерии качества датчиков псевдослучайных чисел. Целью курса является объединение теоретических и вычислительных возможностей теории вероятностей в компактной и связанной форме.Вероятностные пространства и основные распределения.
Аксиоматика Колмогорова.
Случайные величины.
Вероятностные аспекты квантовой теории.
Тест некоммутативности: неравенство Белла.Сходимость случайных величин и предельные теоремы.
Закон больших чисел.
Пуассоновский предел.
Теорема Муавра–Лапласа.
Предельные теоремы для экстремальных событий.Теорема Бохнера–Хинчина и центральная предельная теорема.
Алгебра характеристических функций.
Теорема Бохнера–Хинчина и ее следствия.
Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема в форме Ляпунова и Линдеберга.
Безгранично делимые и устойчивые законы.
Предельные теоремы для распределений с тяжелыми хвостами.Проблема моментов и теорема Бернштейна.
Свойство аналитичности характеристических функций.
Теорема Бернштейна.
Кривые Пирсона.
Теорема Бернштейна и распределение Вигнера.Статистическая обработка экспериментальных данных.
Задачи математической статистики.
Распределение Стьюдента.
Интервальные оценки.
Статистическая значимость и ошибки первого и второго рода.
Гипотеза о средних значениях.
Гипотеза о дисперсиях.
Гипотеза об однородности.Критерий Пирсона.
Теорема Пирсона.
Примеры.
Гипотеза о независимости выборок.Линейный метод наименьших квадратов.
Геометрическое содержание метода наименьших квадратов.
Псевдорешения и проекторы.
Распределение коэффициентов МНК.
Оценка порядка регрессии.
Примеры аппроксимации экспериментальных данных.Критерий Колмогорова.
Теорема Гливенко–Кантелли.
Распределение Колмогорова.
𝐿2-критерии Крамера–фон Мизеса и Андерсона–Дарлинга.
Фильтрация выбросов.
Сравнение мощности критериев.Метод максимального правдоподобия.
Функция правдоподобия и ее свойства.
Информация Фишера и неравенство Рао–Крамера.
Оптимальные статистики.Марковские цепи и случайные блуждания.
Марковские цепи.
Случайное блуждание.
Классификация состояний цепи Маркова.
Теорема Перрона–Фробениуса.Скачкообразные и диффузионные процессы.
Пуассоновский процесс.
Диффузионный предел случайных блужданий.
Свойства траекторий винеровского процесса.Метод Монте-Карло и алгоритм Метрополиса.
Методы преобразования случайных величин.
Стохастический метод решения уравнения Шредингера.
Алгоритм Метрополиса в дискретном случае.
Марковские цепи и эволюция с непрерывным временем.
Алгоритм Хастингса для несимметричных цепей.