Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике

М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 279 с.Книга знакомит с основами теории конечных и непрерывных групп и приложениями теории представлений групп к задачам квантовой механики. Рассмотренные приложения относятся к таким разделам квантовой механики, как теория атома, квантовая химия, теория твердого тела и релятивистская квантовая механика.
Включен ряд вопросов, которые либо не рассматриваются в других монографиях, либо излагаются там недостаточно подробно. Это относится прежде всего к исследованию симметрии шредингеровской волновой функции, к объяснению «дополнительного» вырождения в кулоновском поле и к некоторым вопросам теории твердого тела.
Настоящее издание дополнено параграфом, посвященным классификации точечных групп по Вейлю, а также доказательством теоремы Вигнера—Эккарта, применение которой иллюстрируется на примере эффекта Зеемана.
Книга рассчитана в первую очередь на студентов физических факультетов. Она будет также полезна научным работникам — физикам и химикам, желающим научиться использовать методы теории групп в своих исследованиях.Предисловие ко второму изданию (как была написана эта книгa)
Предисловие к первому изданию
Введение
Свойства симметрии физических систем
Определение группы
Примеры групп, имеющих приложение в физике
Условия инвариантности уравнений движения
Упражнения
Абстрактные группы
Сдвиг по группе
Подгруппа
Порядок элемента
Сопряженные совокупности
Сопряженные элементы и класс
Инвариантная подгруппа (нормальный делитель)
Фактор-группа
Изоморфизм и гомоморфизм групп
Упражнения
Представления конечных групп
Определение представления группы
Примеры представлений
Представление группы симметрии уравнения Шрёдингера, реализующееся на его собственных функциях
Существование эквивалентного унитарного представления
Приводимые и неприводимые представления группы
Первая лемма Шура
Вторая лемма Шура
Соотношение ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений
Характеры представлений
Регулярное представление
Число неприводимых представлений
Вычисление характеров неприводимых представлений
Упражнения
Композиции представлений и прямое произведение грyпп
Прямое произведение матриц
Композиция представлений группы
Прямое произведение групп
Неприводимые представления прямого произведения групп
Упражнения
Теорема Вигнера
Симметрия квантовомеханической системы относительно группы преобразований
Симметрия системы частиц, совершающих малые колебания
Теорема Вигнера
Точечные группы
Элементы точечных групп
Классификация точечных групп
Неприводимые представления точечных групп
Классификация нормальных колебаний и электронных состояний молекулы
Упражнения
Разложение приводимого представления на неприводимые
Построение базисов неприводимых представлений
Определение симметризованных смещений ядер молекулы
Метод линейной комбинации атомных орбит
Упражнение.
Пространственные группы и их неприводимые представления
Подгруппа трансляций
Сингонии
Общий элемент пространственной группы
Неприводимые представления группы трансляций
Звезда вектора k
Группа вектора k
Неприводимые представления пространственной группы
Неприводимые представления группы вектора K
Пример
Неприводимые представления пространственной группы, содержащей несобственные трансляции
Упражнения
Классификации колебательных и электронных состояний кристалла
Классификация нормальных колебаний
Классификация электронных состояний кристалла
Одноэлектронное приближение
Упражнение
Непрерывные группы
Непрерывные группы линейных преобразований
Общие свойства групп Ли
Инфинитезимальные преобразования и законы сохранения
Группа двумерных вращений О^-(2)
Группа трехмерных вращений О⁺(3)
Упражнения
Неприводимые представления группы трехмерных вращений
Инфинитезимальные матрицы представлений группы О⁺(3)
Неприводимые представления группы О⁺(3)
Двузначные представления
Разложение любого представления группы О⁺(3) на неприводимые
Неприводимые представления ортогональной группы О(3)
Свойства неприводимых представлений группы вращений
Сферические функции как базисы неприводимых представлений группы О⁺(3)
Композиция неприводимых представлений группы О⁺(3)
Тензорные и спинорные представления группы вращений
Комплексно сопряженные представления
Упражнения
Некоторые приложения теории представлений группы вращений к квантовомеханическим задачам
Частица в центральном поле. Орбитальный момент количества движения
Правило сложения моментов количества движения
Спин
Теорема Крамерса
Теорема Вигнера-Экхарта
Дополнительное вырождение в сферически симметричном поле
Дополнительное вырождение
Связь с классической механикой
Группа симметрии атома водорода
Группа симметрии изотропного осциллятора
Группа перестановок
Квантовомеханическое описание системы тождественных частиц
Группа перестановок n символов
Неприводимые представления группы Sn
Упражнения
Симметризованные степени представлений
Векторы и тензоры в n-мерном пространстве
Матрицы перестановок тензорных значков
Связь между представлениями группы Sn и группы G в тензорном пространстве
Характеры симметризованной степени представления
Упражнения
Свойства симметрии многoэлектронных волновых функций
Постановка задачи
Свойства симметрии спиновой волновой функции
Связь между симметрией спиновой и координатной волновых функций
Свойства симметрии координатной волновой функции
Упражнения
Свойства симметрии волновых функций системы тождественных частиц с произвольными спинами
Постановка задачи
Теорема Фробениуса
s-тензоры
Статистический вес энергетического уровня
Собственные значения оператора полноrо спина
Упражнения
Классификация состояний многоэлектронногo атома
Конфигурация
Термы
Соответствие между конфигуpацией и термами
Спин-орбитальное взаимодействие
Применение теории групп в задачах, связанных с теорией возмущений
Расщепление уровней энергии под влиянием возмущения
Правильные функции нулевого приближения
Атом в однородном магнитном поле
Атом в кристаллическом поле
Правила отбора
Общая формулировка правил отбора
Правила отбора для поглощения и излучения света
Правила отбора для комбинационного рассеяния света молекулами
Матричные элементы, построенные на функциях одного базиса
Tеорема Яна-Теллеpa
Упражнения
Группа Лоренца и ее неприводимые представления
Общая группа Лоренца
Связь группы Лоренца с группой четырехмерных вращений
Перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц
Неприводимые представления
Прямое произведение неприводимых представлений группы Лоренцa Упражнения
Уравнение Дирака
Релятивистски инвариантные уравнения
Уравнение Дирака
Kомплексно сопряженный биспинор Дирака
Инвариантная квадратичная форма
Приложение
Указания к решению задач
Приложение к главе VII
Библиография