Прохоров Ю.В., Пономаренко Л.С. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

2-е изд., перераб. и доп. — М.: Московский государственный университет (МГУ) имени М.В. Ломоносова, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-211-06234-4.Учебник основан на материале годового курса лекций по теории вероятностей и математической статистике, который много лет читался студентам второго курса факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Изложение учебного материала начинается со случая конечных вероятностных пространств, что дает возможность доказывать содержательные теоремы сравнительно простыми средствами. Далее излагаются общие основы теории вероятностей, рассматриваются предельные теоремы, сходимости последовательностей и рядов из случайных величин. Последние главы посвящены задачам математической статистики. Особое внимание уделяется оценкам вероятностей в виде приближенных формул или в виде неравенств. Учебник содержит много примеров, иллюстрирующих основные понятия теории вероятностей и математической статистики. Рекомендуется для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика и информатика», «Фундаментальная информатика и информационные технологии».Вероятностное пространство.
Конечное вероятностное пространство.
Классическая вероятность.
Генуэзская лотерея.
Игральные кости.
Случайные перестановки.
Игра в бридж.
Абсолютно случайные последовательности.
Случайные величины и случайные события.
Случайные величины.
Операции над случайными событиями.
Операции над индикаторами.
Свойства вероятности и математического ожидания.
Свойства вероятности.
Свойства математического ожидания случайных величин.
Вероятность появления хотя бы одного из n событий.
Независимость случайных событий и случайных величин
Условная вероятность. Независимость двух случайных событий
Независимость случайных величин. Взаимная независимость нескольких случайных событий
Свойства независимых случайных величин и взаимно независимых случайных событий
Критерий независимости случайных величин
Мультипликативное свойство математического ожидания независимых случайных величин
Суммирование независимых случайных величин
Производящая функция целочисленной случайной величины
Производящая функция моментов
Свойства числовых характеристик распределений сумм независимых случайных величин
Неравенства Чебышева. Отклонения сумм независимых случайных величин
Схемы Бернулли и Пуассона
Неравенства Чебышева
Отклонения сумм независимых случайных величин
Закон больших чисел
Закон больших чисел в форме Чебышева
Теорема Бернулли. Отклонение частоты наступления события от его вероятности
Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса
Неравенства для максимума сумм независимых случайных величин
Неравенство А.Н. Колмогорова
Неравенство Поля Леви
Математические основы теории вероятностей
Общее определение вероятностного пространства
Порожденные алгебры и σ - алгебры
Борелевские σ - алгебры множеств
Вероятностные меры или распределения вероятностей
Вероятностные меры в евклидовых пространствах
Вероятностные распределения на прямой
Вероятностные распределения на плоскости и в пространстве
Два основных типа распределений в евклидовых пространствах
Случайные величины
σ - алгебра, порожденная случайной величиной
Распределения случайных величин
Математические ожидания случайных величин (Общий случай)
Основные свойства математического ожидания
Независимые случайные величины
Мультипликативное свойство математического ожидания
Усиленный закон больших чисел
Лемма Бореля – Кантелли
Сходимость с вероятностью 1
Усиленный закон больших чисел
Сходимость рядов из независимых случайных величин. Закон «0 или 1»
Предельные теоремы и метод характеристических функций
Обозначения и формулировки предельных теорем
Характеристические функции. Определение и свойства
Формулы обращения для характеристических функций
Свойство непрерывности соответствия характеристических функций и функций распределения
Примеры слабой сходимости последовательностей характеристических функций
Доказательство центральной предельной теоремы
Теорема Пуассона
Сходимость к равномерному распределению
Задачи математической статистики. Основные понятия
Сходимость по вероятности
Асимптотическая нормальность
Некоторые важные преобразования случайных величин
Эмпирическая функция распределения
Проверка гипотезы о виде распределения
Критерий согласия А.Н. Колмогорова
Критерий согласия Пирсона "хи – квадрат"
Проверка параметрических гипотез. Фундаментальная лемма Неймана – Пирсона
Квантили и процентные точки нормального распределения
Постановка задачи. Ошибки первого и второго рода
Лемма Неймана – Пирсона
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения
Проверка гипотез о математическом ожидании
Необходимое число наблюдений для различения гипотез
Проверка гипотез о дисперсии
Сложные гипотезы. Равномерно наиболее мощные критерии
Проверка гипотез о параметре биномиального распределения
Доверительные интервалы
Постановка задачи и основные определения
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Построение доверительного интервала для дисперсии нормального распределения
Совместное распределение статистик X и S^2
Распределение Стьюдента
Асимптотический доверительный интервал для параметра p биномиального распределения
Точечные оценки для неизвестных параметров
Сравнение свойств несмещенных оценок
Семейства распределений
Метод максимального правдоподобия
Неравенство Рао - Крамера
Метод моментов
Приложение 1. Основные распределения и их свойства
Приложение 2. Экзаменационные вопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика
Литература
Предметный указатель