Вержбицкий В.М. Вычислительная линейная алгебра

Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2009. — 351 с.Рассмотрены теория и практика получения треугольных,ортогональных и сингулярных разложений вещественных матриц. Показано, как эти разложения и лежащие в их основе преобразования используются для решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, плохо обусловленных и вырожденных), обращения и псевдообращения матриц, вычисления собственных и сингулярных значений, решения линейных задач о наименьших квадратах и некоторых других задач. Изложение материала сопровождается конкретными алгоритмами и числовыми примерами. Для студентов вузов, обучающихся по математическим и техническим направлениям, а также для всех, кому важно знание современных численных методов линейной алгебры.Предисловие.
Разложения квадратных матриц.
Виды факторизаций.
LU-разложение.
U^TU- и U^TDU- разложения.
Преобразование Хаусхолдера и QR-разложение.
QR- разложение на основе преобразований Гивенса.
Упражнения.Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод Гаусса (схема единственного деления).
Решение СЛАУ и обращение матриц на основе LU-разложения.
Решение симметричных СЛАУ.
Метод прогонки.
Методы отражений и вращений.
Упражнения.Итерационные методы решения СЛАУ.
Некоторые общие сведения об итерационных процессах.
Метод простых итераций.
Метолы Якоби. Зейлеля и ПВР (SOR).
О других подходах к построению итерационных методов.
Итерационное обращение матриц
Упражнения.Задачи на собственные значения.
Собственные пары матриц и некоторые их свойства.
Степенной метод.
Метод обратных итераций и QR-алгоритм.
Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений.
Метод бисекций.
Упражнения.QR-алгоритм.
Понятие об LU-, UTU и QR-алгоритмах.
Приведение матриц к форме Хессенберга.
Факторизация матрицы Хессенберга.
Сдвиги и понижение размерности в QR-алгоритме.
Применение QR-алгоритма к вычислению корней многочлена.
Упражнения.Сингулярное разложение прямоугольных матриц.
Сингулярные числа и сингулярное разложение.
Стратегия получения SVD-разложения.
Этап двухдиагонализации.
Разложение двухдиагональной матрицы
Понижение размерности, сборка результирующих матриц SVD-разложения
Упражнения.Применения сингулярных разложений.
Ранг матрицы, модуль определителя, число обусловленности.
Решение однородных и неоднородных СЛАУ.
Псевдообратная матрица.
Некоторые другие применения SVD-разложений.
Два источника линейных задач наименьших квадратов (ЛЗНК).
Особенности и методы решения ЛЗНК.
Упражнения.Факторы, влияющие на выбор метода.
Арифметическая сложность метода.
Численная устойчивость метода.
Обусловленность задачи.
Способы улучшения обусловленности.
Неустойчивость решения и регуляризация.
Упражнения.Приложение. Некоторые вспомогательные сведения.
Список литературы.
Предметный указатель.
Указатель обозначений и сокращений.