Скасків О.Б. Теорія ймовірностей

Конспект лекцій. — Львів: Видавець І. Е. Чижиков, 2012. — 143 с. — ISBN 978-966-2625-05-7.Викладено основи теорії ймовірностей і випадкових процесів. Висвітлено такі теми: основні поняття теорії ймовірностей, випадкові величини і функції розподілу, характеристичні функції і центральна гранична теорема, умовні розподіли, випадкові процеси. Лекції супроводжуються вправами.
Для студентів математичних спеціальностей університетів.Вступ.
Основні поняття теорії ймовірностей.
Випадкове явище (випадковий експеримент).
Операції над подіями.
Аксіоматичне означення ймовірнісного простору (аксіоматичний підхід А. М. Колмогорова).
Монотонний клас множин (подій).
Властивості ймовірності.
Деякі ймовірнісні моделі.
Умовні ймовірності.
Формула множення ймовірностей.
Повна група гіпотез та формула повної ймовірності.
Приклад (кульки і скриньки) та формула Баєса.
Незалежні події.
Незалежність сигма-алгебр та експериментів.
Випадкові величини і функції розподілу.
Випадкові величини і випадкові вектори, незалежність випадкових величин.
Функції розподілу випадкових величин та їхні властивості.
Властивості функції розподілу (продовження).
Деякі типи інтегралів у теорії ймовірностей.
Дискретні випадкові величини.
Неперервні випадкові величини: абсолютно неперервні та сингулярні.
Рівномірний розподіл.
Розподіл Коші.
Схема Бернуллі.
Граничні теореми у схемі Бернуллі: закон подій, що трапляються рідко.
Граничні теореми у схемі Бернуллі: локальна Лапласа, інтегральна Муавра-Лапласа. Нормальний (гаусів) розподіл.
Числові характеристики випадкових величин: математичні сподівання і дисперсія.
Властивості математичного сподівання.
Властивості дисперсії.
Приклади обчислення дисперсії деяких розподілів.
Нерівність Чебишова і закон великих чисел (ЗВЧ).
Незалежні випадкові величини.
Випадкові вектори з незалежними компонентами.
Збіжність майже напевно і збіжність за ймовірністю.
Лема Бореля-Кантеллі.
Посилений закон великих чисел (ПЗВЧ).
Згортка розподілів випадкових величин.
Гамма-розподіл.
Розподіл хі квадрат.
Згортка дискретних розподілів.
Характеристичні функції і центральна гранична теорема.
Означення характеристичної функції. Характеристичні властивості характеристичних функцій.
Властивості характеристичних функцій (продовження).
Центральна гранична теорема.
Центральна гранична теорема для схеми Бернуллі.
Приклади застосування характеристичних функцій: теореми додавання розподілів.
Твірна функція.
Згортка послідовностей, згортка Коші аналітичних функцій.
Сума випадкової кількості випадкових величин.
Умовні розподіли.
Означення умовного математичного сподівання.
Властивості умовних математичних сподівань.
Умовні розподіли: властивості.
Випадкові процеси.
Означення випадкового процесу.
Процес Пуассона.
Процес Вінера.
Процеси Маркова з дискретним часом.
Однорідний процес (ланцюг) Маркова з дискретним часом.
Ланцюги Маркова: фінальні ймовірності, ергодичність, стаціонарний розподіл.
Ланцюги Маркова з неперервним часом.
Список літератури.