Рыбалко А.Ф., Соболев А.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций

Учебное пособие. — Екатеринбург: Уральский государственный технический университет (УГТУ–УПИ), 2006.Случайные события
Основные понятия
Вероятность. Варианты определения (относительная частота события, статистическое определение вероятности, классическое определение вероятности, основные формулы комбинаторики, геометрическое определение вероятности, аксиоматическое определение вероятности)
Теорема сложения вероятностей
Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей
Вероятность появления хотя бы одного события
Формула полной вероятности
Формула Бейеса (теорема гипотез)
Повторение опытов. Формула Бернулли
Предельные случаи формулы Бернулли (локальная предельная теорема Муавра-Лапласа, интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, формула Пуассона)Случайные величины
Случайные величины. Виды случайных величин. Закон распределения случайной величины (в т.ч. биномиальное распределение, распределение Пуассона, поток событий)
Функция распределения случайной величины
Непрерывная случайная величина. Плотность распределения
Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание; дисперсия; среднее квадратическое отклонение; мода, медиана, квантили; моменты случайных величин)
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
и их числовые характеристики (биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение (распределение Гаусса))
Функции от случайной величины
Числовые характеристики функции случайной величины
Распределения, связанные с нормальным (распределение «хи-квадрват» (Пирсона), t-распределение Стьюдента, F-распределение Фишера-Снедекора)Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины (функция распределения многомерной случайной величины, дискретные многомерные случайные величины (ДМСВ), непрерывные многомерные случайные величины (НМСВ))
Зависимые и независимые случайные величины
Условные законы распределения
Числовые характеристики двумерной случайной величины (корреляционный момент и коэффициент корреляции; числовые характеристики условных распределений; линейная регрессия, прямые линии среднеквадратической регрессии; линейная корреляция, двумерный нормальный закон распределения)Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел [предельные теоремы теории вероятностей] (неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Маркова, теорема Бернулли)
Центральная предельная теорема (в т.ч. формула Муавра-Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы)Выборки. Статистические оценки параметров распределения
Задачи математической статистики
Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора
Статистическое распределение выборки
Полигон и гистограмма
Эмпирическая функция распределения
Числовые характеристики статистического распределения выборки.
Числовые характеристики генеральной совокупности
Статистические оценки параметров распределения
Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал, точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
Точечная оценка генерального среднего
по выборочному среднему
Точечная оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
Метод максимального правдоподобия для точечной оценки параметров распределения
Интервальные оценки
Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (т.е. среднем квадратическом отклонении)
Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (т.е. среднем квадратическом отклонении)
Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределенияПроверка статистических гипотез
Статистическая гипотеза. Параметрическая и непараметрическая, нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
Ошибки первого и второго рода
Статистический критерий. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
Уровень значимости и мощность критерия
Виды критических областей
Методика проверки гипотез
Некоторые типичные задачи проверки параметрических гипотез
(проверка гипотез о доле признака, проверка гипотез о среднем значении, сравнение дисперсий двух совокупностей, сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности)
Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и КолмогороваСтатистическое исследование зависимостей
Основы корреляционного анализа
(основные понятия; элементы теории корреляции, анализ парных связей; оценка показателя связи по выборочным данным, корреляционное поле; анализ коэффициента корреляции (точечная и интервальная оценки коэффициента корреляции, проверка значимости))
Основы регрессионного анализа (условные средние, выборочные уравнения регрессии; корреляционная таблица, выборочные линии регрессии; линейная регрессия, выборочный коэффициент корреляции)Основы дисперсионного анализа
Исходные понятия
Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии
Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента
Однофакторный анализ при группировке по случайным блокам
Двухфакторный анализ при полностью случайном плане экспериментаПриложения
Таблицы (функция Гаусса, функция Лапласа, квантили нормального распределения, критические точки распределения «хи-квадрат» (Пирсона), таблица значений q=q(n,gamma), квантили t-распределения Стьюдента, критические точки t-распределения Стьюдента, квантили F-распределения Фишера-Снедекора, функция Колмогорова)