Нохрина Г.Л. Вариационное исчисление

Екатеринбург: Уральский государственный лесотехнический университет, 2014. — 44 c.Курс лекций для студентов 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.05 «Бизнес-информатика» всех форм обучения.Общая постановка задачи вариационного исчисления и основные положения
История зарождения вариационного исчисления
Функционал
Линейное нормированноепространство
Вариация функционалаГлобальные и локальные экстремумы
Глобальный минимум (максимум)
Локальные экстремумы
Необходимые условия локального экстремумаОсновные леммы вариационного исчисления
Лемма
Лемма
ЛеммаПростейшая задача вариационного исчисления
Уравнение Эйлера
обобщение уравнения эйлера

частные случаи уравнения эйлера
Подынтегральная функция не зависит от y
Подынтегральная функция не зависит от x
Задача о брахистохроне
Подынтегральная функция не зависит от y"Задача со свободными концами
Основная формула для вариации функционала для задачи со свободными концами
Решение задачи со свободными концамиВариационная производная
Понятие вариационной производной функционала
Определение вариационной производной в общем случаеИзопериметрические задачи
Понятие изопериметрической задачи
Задача ДидоныЗадача на условный экстремум
Задача Лагранжа
Задача о геодезических кривыхОсновная формула для вариации функционала для задачи с подвижными концами
Общая формула для вариации функционала
Задача с подвижными концами
Условия трансверсальности
Не гладкие экстремали и условия Вейерштрасса-Эрдмана
Задача с негладкими экстремалями
Канонические переменные
Канонический вид уравнений Эйлера
Замена переменных на канонические
Каноническая система уравнений Эйлера
Понятие о поле экстремалей Уравнение Гамильтона-Якоби
Уравнения Гамильтона - Якоби
Связь между решениями уравнения Гамильтона - Якоби и первыми интегралами системы уравнений Эйлера
Вторая вариация функционала Необходимые условия Лежандра и Якоби
Билинейный и квадратичный функционал
Вторая вариация функционала
Формула для второй вариации в задаче с закрепленными концами
Необходимое условие Лежандра
Необходимое условие Якоби
Сводка необходимых и достаточных условий слабого экстремума
Необходимые условия
Достаточные условия