Бураго Д.Ю. и др. Курс метрической геометрии

Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В.
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.Книга является первой в мировой практике попыткой учебного пособия по метрической геометрии. В ней дается последовательный, начинающийся с самых основ, обзор всех основных разделов метрической геометрии — сравнительно новой и активно развивающейся области современной геометрии. Кроме общих свойств пространств с внутренней метрикой и метрик на множестве метрических пространств, отдельные разделы посвящены таким важным классам метрических пространств, как пространства с ограничениями на кривизну, неголономные метрики, гиперболические по Громову пространства.
Книга может быть использована в качестве учебного пособия для студентов-математиков, специализирующихся в геометрии, а также специалистами в других областях математики, желающими ознакомиться с данным предметом.СодержаниеПредисловие.Метрические пространства.
Определения.
Примеры.
Метрика и топология.
Липшицевы отображения.
Полные пространства.
Компактные пространства.
Мера Хаусдорфа и хаусдорфова размерность.Внутренние метрики.
Функционалы длины.
Первые примеры функционалов длины.
Длины, индуцированные метриками.
Характеризация внутренних метрик.
Кратчайшие.
Длина и мера Хаусдорфа.
Длина и скорость липшицевых путей.Конструкции.
Локальность, склеивание и максимальные метрики.
Полиэдральные пространства.
Изометрии и фактор-пространства.
Локальные изометрии и накрытия.
Отображения, сохраняющие длины кривых.
Произведения и конусы.Пространства ограниченной кривизны.
Определения.
Примеры.
Углы в пространствах Александрова и эквивалентность определений.
Анализ дистанционных функций.
Формула первой вариации.
Ненулевые ограничения на кривизну и глобализация.
Кривизна конуса.Гладкие внутренние метрики.
Римановы пространства.
Экспоненциальное отображение.
Гиперболическая плоскость.
Пространства Карно—Каратеодори.
Римановы и финслеровы объемы.
Неравенство Безиковича.Кривизна римановой метрики.
Мотивировка: вычисления в координатах.
Ковариантное дифференцирование.
Геодезическая и гауссова кривизны.
Геометрический смысл гауссовой кривизны.
Теоремы сравнения.Пространство метрических пространств.
Примеры.
Расстояние по Липшицу.
Расстояние по Громову—Хаусдорфу.
Сходимость по Громову—Хаусдорфу.
Сходимость пространств с внутренней метрикой.Геометрия крупного масштаба.
Пределы по Громову—Хаусдорфу для некомпактных пространств.
Касательный и асимптотический конусы.
Квазиизометрии331.
Гиперболические по Громову пространства.
Периодические метрики.Пространства ограниченной сверху кривизны.
Определения и локальные свойства.
Пространства Адамара.
Фундаментальная группа пространства неположительной кривизны.
Пример: полурассеивающие бильярды.
Пространства ограниченной снизу кривизны.
Условие четырех точек.
Конструкции и примеры.
Теорема Топоногова.
Кривизна и диаметр.
Теорема о расщеплении.
Размерность и объем.
Пределы по Громову—Хаусдорфу.
Локальные свойства.
Пространства направлений и касательные конусы.
Дальнейшая информация.