Черемисина М.И. Актуальные вопросы алгебры и теории чисел

Оренбург: ОГПУ, 2015. — 80 с. — ISBN: 978-5-85859-618-9.Учебное пособие предназначено для студентов физико-математических факультетов педагогических университетов для подготовки к итоговой государственной аттестации по алгебре и теории чисел.
Пособие содержит обзор основных теоретических положений абстрактной и линейной алгебры, алгебры полиномов и теории чисел. Книгу могут использовать учителя математики на факультативных занятиях в средней школе, так как материал данного учебного пособия непосредственно примыкает к школьному курсу алгебры. Теоретический материал иллюстрируется примерами.Предисловие.
Группа. Основные свойства группы. Примеры групп. Подгруппа. Изоморфизм и гомоморфизм групп.
Кольцо. Основные свойства кольца. Примеры колец. Подкольцо. Поле. Основные свойства полей. Примеры полей. Числовые кольца, поля. Изоморфизм колец, полей.
Система линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Критерий совместности системы линейных уравнений.
Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическое представление комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Кольцо многочленов над полем Р. Делимость многочленов. Деление с остатком. НОД многочленов.
Корень многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Приводимые и неприводимые многочлены над Р. Представление многочленов в виде неприводимых множителей.
Замкнутость поля С. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Простые числа и их свойства. Представление натурального числа в виде произведения простых чисел. Бесконечность множества простых чисел.
Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Отношение делимости в кольце Z и его свойства. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух целых чисел. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное двух целых чисел.
Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел.
Список использованной литературы.