Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики

3-е издание, переработанное. — М.: МФТИ, 2008. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0907-9.Книгу отличает более глубокий, чем обычно принято в учебной литературе, анализ оснований классической и релятивистской механики, выполненный с единым для этих парадигм подходом. Курс включает изложение элементов теории групп Ли, достаточное для понимания особенностей применения теоретико-групповых идей в современной механике и физике. Традиционные разделы теоретической механики подвергнуты серьезной методической переработке с целью, с одной стороны, максимально упростить введение основных понятий, доказательства теорем и основных методов, с другой стороны, заменить устаревшие представления более эффективными современными. Последнее относится, например, к аппарату теории конечных поворотов.Введение.
Проблема аксиоматизации классической механики.
Инвариантность и ковариантность уравнений механики.
Кинематика.
Кинематика точки.
Основные определения.
Кинематика точки в естественной системе осей.
Кинематика точки в криволинейных координатах.
Кинематика твердого тела.
Способы задания ориентации твердого тела.
Сложение поворотов.
Топология многообразия поворотов твердого тела.
Угловая скорость твердого тела.
Кинематика относительного движения.
Скорости и ускорения в неинерциальных системах отсчета.
Динамика.
Общие теоремы динамики.
Определения.
Теорема об изменении количества движения.
Теорема об изменении момента количеств движения.
Теорема об изменении энергии.
Первые интегралы.
Теорема Кёнига.
Теорема о вириале.
Общее уравнение динамики системы связанных материальных точек.
Специальные задачи динамики.
Задача двух тел.
Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой.
Реактивное движение.
Теория удара.
Теория рассеяния частиц.
Лагранжева механика.
Уравнения Лагранжа для голономных систем.
Основные определения.
Вывод уравнений Лагранжа.
Свойства уравнений Лагранжа.
Понятие первого интеграла.
Первые интегралы лагранжевых систем.
Уравнения Рауса.
Преобразования Лежандра.
Уравнения Рayca.
Уравнения систем с дополнительными связями.
Классификация связей.
Уравнения Лагранжа с множителями.
Уравнения Аппеля.
Уравнения Лагранжа для систем с неудерживающими связями.
Колебания и устойчивость.
Равновесие и движение вблизи положения равновесия.
Определение устойчивости положения равновесия.
Корректность понятия устойчивости.
Общие теоремы об устойчивости линейных систем.
Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей.
Устойчивость положений равновесия нелинейных систем.
Малые колебания в окрестности положения равновесия.
Колебательная система с одной степенью свободы.
Колебательные системы произвольного числа степеней свободы.
Спектральные свойства линейных систем.
Нелинейные системы. Метод нормальной формы Пуанкаре.
Свойства колебаний нелинейных систем.
Однопараметрические группы Ли.
Элементы локальной теории.
Понятие группы.
Группа Ли. Примеры.
Инфинитезимальный оператор группы. Алгебра Ли.
Однопараметрические группы. Теорема единственности.
Уравнение Лиувилля. Инварианты. Собственные функции.
Линейные уравнения с частными производными.
Канонические координаты группы.
Формула Хаусдорфа. Группы симметрий.
Принцип суперпозиции решений в нелинейных системах дифференциальных уравнений.
Теория продолжения.
Уравнения, допускающие заданную группу.
Симметрии уравнений в частных производных.
Примеры интегрирования задач механики на основе вычисления симметрий.
Уравнения Пуанкаре.
Группы симметрий уравнений классической механики.
Первый закон Ньютона. Инерциальные системы.
Второй закон Ньютона. Группа Галилея.
Релятивистская механика.
Постулаты релятивистской механики.
Группа симметрий уравнений Максвелла.
Оператор второго продолжения. Дважды продолженная группа Лоренца.
Инварианты группы.
Релятивистские уравнения динамики точки.
неинерциальных системах отсчета.
Гамильтонова механика.
Системы Гамильтона и их свойства.
Уравнения Гамильтона.
Связь законов сохранения со свойствами симметрии гамильтоновых систем.
Инварианты гамильтоновых систем.
Канонические преобразования.
Уравнение Гамильтона–Якоби.
Теорема Лиувилля об интегрируемых системах.
Переменные «действие–угол».
Метод Пуанкаре–Цейпеля.
Метод Биркгофа нормализации гамильтонианов.
Приложение.
Предметный указатель.