Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями

Учебное пособие для вузов. - СПб: Политехника, 2003. - 261 с., ISBN: 5-7325-0761-2, OCR.Изложены понятия корректных и некорректных задач, а также задач, промежуточных между корректными и некорректными. Приведены примеры подобных математических задач: системы линейных алгебраических уравнений, системы обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, а также примеры прикладных задач из теории управления, обработки изображений и томографии. Показано, что преобразования уравнений, эквивалентные в классическом смысле, могут переводить корректное уравнение в некорректное и наоборот. Введено понятие преобразований, эквивалентных в расширенном смысле. Изложены устойчивые методы регуляризации Тихонова и решения на компакте. Приведены результаты решения численных примеров. Данная книга может рассматриваться как учебное пособие (повышенной трудности), так и монография.
Для студентов, магистров, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников в области фундаментальной и прикладной математики.Содержание:ПРЕДИСЛОВИЕТРИ КЛАССА ЗАДАЧ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ТЕХНИКИПРОСТЕЙШИЕ НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
Постановка проблемы. Примеры
Определения
Дальнейшие примеры и методы подхода к некорректным задачам
Некорректные задачи синтеза оптимальных систем управления
Некорректные задачи вычисления собственных значений систем линейных однородных уравнений
Решение систем дифференциальных уравнений. Всегда ли решения непрерывно зависят от параметров?
Заключение
КЛАСС ЗАДАЧ, ПРОМЕЖУТОЧНЫХ МЕЖДУ КОРРЕКТНЫМИ И НЕКОРРЕКТНЫМИ
Обнаружение третьего класса задач математики, физики и техники и его значение
Преобразования, эквивалентные в классическом смысле
Обнаружившиеся парадоксы
Преобразования, эквивалентные в расширенном смысле
Задачи, промежуточные между корректными и некорректными
Приложения к системам управления и другим объектам, описываемым дифференциальными уравнениями
Приложения к практике вычислений
Заключение по главам 1 и 2
ИЗМЕНЕНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ПОГРЕШНОСТЯМ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ РАСЧЕТЕ СУДОВ И СИСТЕМ СУДОВОЙ АВТОМАТИКИ
Применение интегральных преобразований для решения практических задач
Свойства корреляционных функций
Свойства спектров
Корректность интегральных преобразований
Задачи, мало чувствительные к погрешностям спектров
Дифференцирование функций, отягощенных помехами
Предсказание будущего
ЛИТЕРАТУРА к Части 1УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧРЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Элементы функционального анализа
Некоторые сведения из линейной алгебры
Основные типы уравнений и преобразований
Корректность и некорректность по Адамару
Классические методы решения интегральных уравнений Фредгольма I рода
Методы наименьших квадратов Гаусса и псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
Метод регуляризации Тихонова
Метод решения на компакте
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ТОМОГРАФИИ
Реконструкция смазанных изображений
Реконструкция дефокусированных изображений
Задача рентгеновской томографии
Задача синтеза магнитного поля в ЯМР-томографе
ЛИТЕРАТУРА к Части IIПриложение. О ГРАММАТИКЕ НАУКИ
ЛИТЕРАТУРА к ПРИЛОЖЕНИЮ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ