Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло

Учебное пособие для студентов вузов. — М.: Академия, 2006. — 368 с. — (Прикладная математика и информатика).В учебном пособии представлены как классические результаты, так и последние теоретические и методические разработки численного статистического моделирования, рассмотрены методы моделирования случайных величин и процессов, численного интегрирования и решения интегральных уравнений второго рода. Особое внимание уделено современным приложениям метода Монте-Карло. Для студентов высших учебных заведений. Может быть полезно широкому кругу специалистов, использующих методы вычислительной математики в различных приложениях.Предисловие
ВведениеМоделирование случайных величин
Генераторы стандартных случайных чисел
Основные свойства стандартного случайного числа
Два типа генераторов стандартных случайных чисел
Свойства преобразования
Свойства мультикативного метода вычетов
Тестирование и модификация генераторов случайных и псевдослучайных чисел
Использование датчиков псевдослучайных чисел в параллельных вычислениях
Моделирование дискретного распределения (стандартный алгоритм)
Стандартный алгоритм
Трудоемкость стандартного алгоритма
Случаи малого и бесконечного числа значений
Примеры
Специальные алгоритмы моделирования дискретного распределения
Моделирование равномерного дискретного распределения
Приведение вероятностей к общему знаменателю
Перераспределение вероятностей (метод Уолкера)
Квантильный метод
Бинарный поиск Метод «мажорантной частоты»
Специальные методы моделирования геометрического распределения
Специальные методы моделирования биномиального распределения
Специальные методы моделирования распределения Пуассона
Стандартный алгоритм моделирования непрерывной случайной величины
Метод обратной функции распределения Примеры
Обобщение метода обратной функции распределения
Составные плотности
Теорема о замене случайных переменных
Конструирование плотностей элементарных распределений
Стандартный алгоритм моделирования случайного вектора
Представление плотности распределения случайного вектора в виде произведения условных плотностей
Стандартный алгоритм
Случай независимых компонент Векторы с марковским свойством
Моделирование случайного вектора с заданными одномерным распределением и корреляционной матрицей (метод повторения)
Метод суперпозиции
Метод интегральной суперпозиции
Метод дискретной суперпозиции
Модифицированный метод суперпозиции
Метод суперпозиции для составных плотностей
Методы исключения
Общие принципы построения и трудоемкость методов исключения
Мажорантный метод исключения
Специальные методы построения мажорант
Двусторонний метод исключения
Моделирование усеченных распределений
Моделирование полиномиальных и кусочна-полиномиальных плотностей
Моделирование кусочно-постоянной и кусочно-линейной плотностей
Использование кусочно-постоянных плотностей распределения для обоснования алгоритмов моделирования дискретных целочисленных случайных величин
Основные методы моделирования полиномиальных плотностей
Использование порядковых статистик
Использование распределений с плотностями, являющимися В-сплайнами
Моделирование гамма- и бета-распределений
Основные алгоритмы моделирования гамма-распределения
Моделирование одного специального класса распределений
Моделирование бета-распределения
Методы исключения для моделирования бета-распределения
Моделирование нормального распределения Моделирование изотропного направления
Реализация пары выборочных значений случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение
Теоремы об изотропном векторе
Моделирование единичного изотропного вектора
Моделирование гауссовского случайного вектора с зависимыми компонентамиМоделирование случайных процессов и полей
Общие принципы моделирования траекторий случайных процессов и полей
Выборочное вероятностное пространство случайной функции
Конечномерные распределения случайной функции Функция математических ожиданий Корреляционная функция Гауссовское случайное поле
Основы корреляционной теории стационарных случайных функций
Особенности численного моделирования случайных функций
Адекватность моделей случайных процессов и полей
Воспроизведение одномерных распределений Метод обратной функции распределения
Воспроизведение корреляционных функций
Воспроизведение многомерных конечномерных распределений Моделирование гауссовского марковского случайного процесса
Сходимость моделей случайных процессов и полей
Сходимость конечномерных распределений Сходимость в среднем
Функциональная (слабая) сходимость в Z(T) Достаточные условия функциональной сходимости в С(и D(T) в терминах приращений
Дифференциальные условия функциональной сходимости в С(Т)
Моментные условия функциональной сходимости в С(Т)
Непрерывность важнейших функционалов в С(Т) и D(T)
Модели случайных функций с дискретным временем
Дискретизация и восполнение случайных функций с непрерывным временем Метод условных математических ожиданий
Моделирование процесса с независимыми приращениями
Моделирование и использование диффузионного процесса
Использование цепей Маркова Блуждание по решетке Ветвящиеся процессы
Процесс скользящего среднего
Процесс авторегрессии
Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего
Модели гауссовских случайных процессов с непрерывным временем
Моделирование гауссовского процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью
Алгоритм Франклина
Моделирование гауссовского случайного процесса с использованием канонического разложения
Приближенные спектральные модели однородных гауссовских случайных полей
Рандомизированная модель с разбиением спектра
Обобщение модели с разбиением спектра Негауссовские спектральные модели
Скорость сходимости в среднеквакратическом
Сходимость конечномерных распределений
Функциональная сходимость: моментные условия
Рандомизированная модель без разбиения спектра
Некоторые приложения спектральных моделей случайных полей
Модели случайных процессов и полей, связанных с точечными потоками Пальма
Простейшая одномерная модель
Модификации простейшей модели
Модели случайных полей
Функциональная сходимость: одномерный случай
Функциональная сходимость: многомерный случай
Свойства предельных распределений Моделирование векторных полейЧисленное интегрирование
Стандартный метод Монте-Карло
Стандартный алгоритм
Погрешность стандартного алгоритма
Трудоемкость метода Монте-Карло
Выборка по важности
Теорема о минимуме дисперсии
Выборка по важности и ее погрешность
Включение особенности в плотность
Построение плотности f (х) как приближения функции lg(x)I
Использование существенной выборки
Выборка по важности по части переменных
Разбиение переменных на две группы
Выборка по важности по переменной u
Метод математических ожиданий
Понижение порядка интегрирования
Уменьшение дисперсии
О трудоемкости метода математических ожиданий
Метод расщепления
Использование дополнительных выборочных значений случайного вектора
Выбор параметров однократного расщепления
Выбор параметров многократного расщепления
Расщепление случайных траекторий частиц
Выделение главной части
Введение вспомогательного интеграла
Пример уменьшения дисперсии
Построение функции go(x)
Интегрирование по части области
Разделение области интегрирования
Уменьшение дисперсии
О применении метода исключения для моделирования усеченного распределения
Метод противоположной переменной
Простая симметризация Уменьшение трудоемкости
Сложная симметризация
Использование метода противоположной переменной в многомерном случае
Метод расслоенной выборки
Выборка по группам
Минимизация дисперсии метода расслоенной выборки
Примеры удачного и неудачного выбора чисел {nm}
Оценки с оптимальной скоростью сходимости
Оценки с оптимальной скоростью сходимости
Случайные кубатурные формулы
Основы теории кубатурных формул
Рандомизация кубатурных формул
Интерполяционные кубатурные формулы со случайными узламиРешение интегральных уравнений методом Монте-Карло
Интегральные уравнения
Цепи Маркова
Весовые оценки
Основная оценка
Метод сопряженных блужданий и локальная оценка
Прямое моделирование
Оценка по поглощениям
Обобщенные ядра
Решение систем алгебраических уравнений
Дисперсии оценок
Уменьшение дисперсии
Оценки с нулевой дисперсией
Моделирование «по ценности• в задаче об оценке многих функционалов
Рекуррентные представления оценок
Рандомизация интегрального уравнения
Использование ветвящихся цепей
Весовые оценки для нелинейного уравнения
Рандомизация ·
Метод «двойной рандомизации»
Рандомизация оценки по столкновениям
Векторные оценки
Вычисление параметрических производных
Дифференцирование уравнений и оценок
Итерации резольвенты и оценки собственных чисел
Тестовая задача
Формулы для дисперсии
Частичное ценностное моделирование
Модификации фазового пространства и весовых оценок
Цепи Маркова и интегральные уравнения
Модификации фазового пространства
Оптимизация моделирования по части переменныхФункциональные оценки
Оценка нескольких интегралов
Выбор оптимальной плотности (метод взвешенной дисперсии)
Минимаксный подход
Общая погрешность при использовании независимых испытаний
Метод зависимых испытаний
Приближение интегралов, зависящих от параметра
Приближение решения интегрального уравнения второго рода
Сходимость метода зависимых испытаний
Выбор оптимальной плотности (континуальный аналог метода взвешенной дисперсии)
Минимаксный подход
Дискретно-стохастические численные методы
Комбинированные численные методы
Смешанные методы моделирования случайных величин
Аппроксимация Стренга-Фикса и ее свойства
Дискретно-стохастические схемы численного интегрирования
Функциональные оценки метода Монте-Карло
Вероятностные подходы к оценке погрешностей дискретно-стохастических методов
Условная оптимизация дискретно-стохастических алгоритмов
Особенности построения дискретно-стохастических алгоритмов глобального решения интегральных уравнений второго родаРешение задач теории переноса частиц
Вводная информация
Моделирование траектории
Стандартная схема
«Метод максимального сечению~ для моделирования длины свободного пробега частицы
Многоскоростные и нестационарные задачи
Весовые :модификации
Весовые параметрические оценки
Модификация фазового пространства
Весовая оценка по пробегу
Экспоненциальное преобразование
Одномерный вариант
Исследование дисперсии
Асимптотически оптимальное значение с
Сферический вариант
Сопряженное уравнение переноса Теорема оптической взаимности
Локальные оценки
Стандартные оценки
Модификации локальных оценок
Оценка временных зависимостей
Основные оценки
Оценка временной константы
Решение некоторых обратных и стохастических задач
Обратные задачи
Стохастические задачи теории переноса излучения
Моделирование поляризации
Система уравнений переноса с поляризацией
Решение систем интегральных уравнений :методом Монте-Карло
Критерий конечности дисперсии
Решение задач радиационно-кондуктивного теплопереноса
Приближенное решение нелинейного кинетического уравнения Больцмана
Краткий обзор методов
Уравнение Больцмана и вероятностная модель многочастичной системы в Пространственно-однородном случае
Метод Монте-Карло для нелинейного уравнения коагуляцииРешение краевых задач для эллиптических уравнений
Весовые оценки, связанные с "блужданием по сферам"
"Блуждание по сферам"
Среднее число переходов
Оценка решения
Дополнительная информация
Случай комплексного параметра
Многомерный случай
Решение многомерной разностной задачи Дирихле
Оценки решения
Оценка дисперсий методов
Оценка решения в целом
Диффузионные процессы и уравнения
Оценка по времени для вычисления линейных функционалов от концентрации траекторий многомерных диффузионных процессов
Вероятностное представление и метод Монте-Карло для решения полиэллиптического уравнения
Исходная информация
Требуемое вероятностное представление
Параметрическое дифференцирование
Алгоритмы "блуждания по сферам"
Вычисление ковариационной функции решения бигармонического уравнения при n = 2
Использование граничных интегральных уравненийСписок литературы