Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу

Издание пятое. — Казань, 2009. — 374 с.В учебном пособии реализована идея изложения курса математического анализа (включая курс функционального анализа) в виде компактного пособия-конспекта, содержащего, тем не менее, весь излагаемый на лекциях материал. Уровень подробности доказательств рассчитан на студента, активно работающего над лекциями. Опущена часть иллюстративного материала (определяемая вкусом лектора).
Пособие, не заменяя собой обстоятельных учебников, может быть полезным для текущей работы над курсом и при подготовке к экзаменам. Рекомендуется студентам физико-математических специальностей университетов.
В данном, пятом, издании, переработано изложение некоторых разделов, а также
несколько расширены блоки контрольных заданий.Программа:Понятие функции.
Определение функции. Числовые функции и способы их задания. График функции. Обратная функция. Достаточное условие существования обратной функции. Операции над функциями: арифметические операции, суперпозиция. Биекция. Равномощные множества, счетные множества.Действительные числа.
Аксиоматическое определение действительных чисел. Аксиома непрерывности. Грани ограниченного числового множества. Характеристическое свойство верхней грани. Топология числовой прямой (окрестности, открытые и замкнутые множества, изолированные и предельные точки множества). Теорема Вейерштрасса. Расширенная числовая прямая.Предел числовой последовательности
Последовательность. Предел числовой последовательности. Подпоследовательность числовой последовательности. Элементарные свойства предела (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические свойства, свойство зажатой последовательности). Основные свойства предела последовательности (существование сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности, сходимость монотонной ограниченной последовательности, лемма о вложенных отрезках). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности. Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и нижний пределы последовательности и их свойства.Числовые ряды
Числовой ряд и его сумма. Критерий сходимости знакопостоянного ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Признаки сходимости знакопостоянных рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши) . Абсолютно сходящиеся ряды и их основное свойство. Ряд Лейбница. Двойные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов. Повторные ряды.Предел и непрерывность функций
Определение предела функции в точке. Односторонние пределы, пределы в расширенной числовой прямой. Свойства предела функции в точке. Критерий Коши существования предела. Число e. Асимптотика. Эквивалентные функции и их свойства. Замечательные эквивалентности. Непрерывность функции в точке. Основные свойства функции, непрерывной в точке (ограниченность в окрестности, сохранение знака, арифметические свойства, непрерывность суперпозиции). Точки разрыва. Свойства функций непрерывных на отрезке (ограниченность, достижение граней, условие обращения в нуль в промежуточной точке отрезка, равномерная непрерывность). Теорема о продолжении по непрерывности. Непрерывность обратной функции. Важнейшие элементарные функции (показательная, логарифмическая, степенная, гиперболические).Дифференцирование
Касательная к кривой. Мгновенная скорость. Производная функции в точке. Касательное отображение и дифференциал функции. Односторонние производные. Техника дифференцирования (арифметические свойства, дифференцирование суперпозиции, дифференцирование обратной функции, таблица производных). Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Коши, формула Лагранжа).Приложения понятия производной
Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа. Локальная формула Тейлора. Единственность разложения функции с остатком в форме Пеано. Ряд Тейлора. Ряды Тейлора основных элементарных функций. Аналитические функции. Возрастание и убывание функций на отрезке. Локальный экстремум. Выпуклые функции. Выпуклость функции в точке. Точки перегиба. Неравенства Гёльдера, Минковского, Коши-Буняковского, Шварца.Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл от непрерывной функции. Свойства неопределенного интеграла (интегрирование по частям, замена переменной). Таблица первообразных от некоторых элементарных функций. Представление рациональной функции
в виде суммы элементарных рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций.Интеграл Римана
Определения интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Множества лебеговой меры нуль на числовой прямой и их свойства. Теорема Лебега (формулировка). Интегрируемость монотонной функции. Свойства интеграла Римана (линейность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, интегрируемость модуля интегрируемой функции, аддитивность интеграла как функции отрезка). Свойства интеграла,
связанные с неравенствами. Теорема о среднем. Интеграл как функция своего верхнего предела. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница. Формулы интегрирования по частям и замены переменной в интеграле Римана. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Критерий Дарбу интегрируемости функции. Интегрируемость непрерывной функции. О приближенном вычислении интегралов (формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона).Некоторые приложения интеграла Римана
Формула Тейлора с остатком в интегральной форме. Интегральный признак сходимости числового ряда. Логарифмическая и показательная функции. Геометрические приложения: площадь плоской фигуры, длина кривой, площадь поверхности вращения.Отображения в евклидовых пространствах
Понятие векторного пространства. Евклидово пространство. Топология евклидова пространства. Расширенное евклидово пространство. Компактные множества в евклидовом пространстве. Необходимое и достаточное условие компактности множества. Теорема Вейерштрасса. Типы отображений в евклидовых пространствах. Предел векторной последовательности и его свойства. Предел функции в точке. Свойства предела (арифметические свойства, аналог свойства сохранения знака, критерий Коши). Предел по направлению. Непрерывные функции и их локальные свойства. Свойства непрерывных функций на компактных множествах.Линейные отображения
Линейные отображения векторных пространств. Векторное пространство всех линейных
отображений из одного векторного пространства в другое. Матричное представление
линейного отображения евклидовых пространств. Обратимые линейные отображения. Операторная и евклидова нормы линейного отображения.Дифференцирование отображений
Касательное отображение в точке. Дифференциал функции в точке. Свойства касательного отображения. Дифференцирование суперпозиции отображений. Частные производные функции нескольких переменных и их геометрический смысл. Матрица Якоби касательного отображения. Формула полной производной. Арифметические свойства производной для функций нескольких переменных. Условия дифференцируемости отображений. Касательная плоскость. Непрерывно дифференцируемые отображения. Производная функции в области. Интеграл от непрерывной вектор-функции. Оценочная формула Лагранжа. Необходимое условие локального экстремума. Теорема о дифференцировании обратной функции. Частные производные высших порядков. Независимость от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функций нескольких переменных с остатками в формах Лагранжа и Пеано. Локальный экстремум функции. Теорема о существовании неявной функции. Локальный относительный экстремум функции. Метод Лагранжа исследования функции на относительный локальный экстремум.Элементы общей топологии
Отношения в множестве. Отношения эквивалентности, порядка, направленности. Принцип выбора. Аксиома Цермело. Принцип трансфинитной индукции. Индуктивные множества. Теорема Цорна. Открытые множества в метрических пространствах и их свойства. Топологическое пространство. Окрестность точки в топологическом пространстве. Определение топологии посредством семейств окрестностей. Сравнение топологий. Рабочие понятия (замкнутые множества, внутренние точки и внутренность множества, предельные и граничные точки множества). Непрерывные отображения. Гомеоморфные топологические пространства. Топологические свойства. Локальный гомеоморфизм. Пересечение топологий. Топология, порожденная семейством множеств. Система образующих и база топологии. Прообраз топологии относительно семейства отображений. Индуцированная топология. Произведение топологических пространств. Финальная топология. Фактор-топология. Сходимость сетей в топологическом пространстве. Топологические пространства с 1-й аксиомой счетности. Отделимые топологические пространства. Предел отображения в точке. Регулярные топологические пространства. Продолжение отображения по непрерывности.
Компактные топологические пространства. Непрерывные отображения компактных пространств. Теорема Тихонова о произведении компактных пространств. Локально компактные пространства. Погружение локально компактного пространства в компактное. Связные и линейно связные топологические пространства.Мера Жордана
Элементарные множества. Мера на классе элементарных множеств. Свойство счетной аддитивности меры. Измеримые по Жордану множества. Множества жордановой меры нуль и множества лебеговой меры нуль. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства измеримых по Жордану множеств.Кратные интегралы Римана
Определение кратного интеграла. Связь между интегрируемостью функции и ее ограниченностью. Критерий интегрируемости Дарбу. Интегрируемость непрерывной функции. Колебание функции в точке. Теорема Лебега. Свойства кратного интеграла (интегрирование по замыканию области, арифметические свойства, аддитивность интеграла как функции области, теорема о среднем). Связь кратного интеграла с повторным. Замена переменных в кратном интеграле. Площадь поверхности.Несобственные интегралы
Интеграл с особенностью в одном из концов. Несобственный интеграл (общий случай). Интеграл в смысле главного значения. Свойства интеграла с особенностью. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Признаки сходимости (критерий Коши, сходимость интегралов от неотрицательных функций). Связь несобственных интегралов с рядами. Абсолютно сходящиеся интегралы. Признаки сходимости Дирихле и Абеля. Кратные несобственные интегралы.Интегралы, зависящие от параметра
Собственные интегралы, зависящие от параметра. Свойство непрерывности интеграла по параметру. Интегрирование и дифференцирование собственных интегралов по параметру. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Признаки равномерной сходимости. Непрерывность несобственного интеграла по параметру. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру. Бэта-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера.Последовательности и ряды функций
Равномерная сходимость последовательности функций. Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Равномерная сходимость рядов функций. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признаки равномерной сходимости рядов (Вейерштрасса, Дирихле, Абеля). Почленное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов. Дзета-функция Римана. Степенные ряды в комплексной плоскости. 1-я теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара. Дифференцирование степенного ряда. Аналитическая функция. Экспонента. Вещественные степенные ряды. 2-я теорема Абеля. Интегрирование вещественных степенных рядов.Векторные пространства функций. Ряды и интегралы Фурье
Нормированные и банаховы пространства. Банахово пространство всех ограниченных числовых функций. Банаховы пространства непрерывных функций. Факторизация. Пространство R1(Ω). Унитарные пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Шварца. Пространство R2(Ω). Теоремы о плотности. Гильбертово пространство. Пространство l^
2. Полные и замкнутые ортонормированные системы векторов в унитарном пространстве. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Неравенство Парсеваля. 2π-периодические функции. Пространства C, Re1, Re
2. Тригонометрический ряд Фурье. Осцилляционная лемма. Оценка остатка ряда Фурье. Класс функций Lip α. Условие равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Полнота тригонометрической системы функций. Полиномы
Чебышева. Полнота системы полиномов. Комплексная форма ряда Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье. Простой интеграл Фурье. Теорема о сходимости интеграла Фурье. Преобразование Фурье и его свойства. Производная и преобразование Фурье.Элементы теории обобщенных функций
Пространства основных функций D и S. Непрерывные линейные отображения в пространствах основных функций (дифференцирование, умножение на бесконечно дифференцируемую функцию, преобразование Фурье в пространстве S). Пространства D0 и S0 обобщенных функций. Примеры обобщенных функций, δ-функция. Сходимость обобщенных функций. Действия над обобщенными функциями. Преобразование Фурье обобщенных функций из S
0. Простейшие дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций.Элементы интегрирования по многообразиям
Гладкие кривые. Параметризация гладкой кривой. Натуральная параметризация. Криволинейный интеграл 1-го рода. Работа векторного поля. Ориентация гладкой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода. Градиент. Потенциальное векторное поле. Условие потенциальности поля в терминах криволинейного интеграла. Ротор. Условие потенциальности поля в терминах ротора. Ориентация плоской области. Формула Грина. Гладкие поверхности в R
3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Поток вектора через ориентированную поверхность. Поверхностный интеграл 2-го рода. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция и ее физический смысл. Формула Стокса.Мера Лебега
Полукольца множеств и их свойства. Мера на полукольце. Кольца и алгебры множеств. Кольцо, порожденное семейством множеств. Борелевские алгебры. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Критерий σ-аддитивности конечно-аддитивной меры на полукольце. Внешняя мера и ее свойства. Класс L(S, m) измеримых по Лебегу множеств (случай полукольца с 1). Теорема о продолжении меры с полукольца c 1 на класс измеримых по Лебегу множеств. Мера Лебега. Сигма-конечные меры. Класс L(S, m) для σ-конечной меры m. Свойство непрерывности σ-конечной меры по отношению к монотонным последовательностям множеств. Множества лебеговой меры нуль и их свойства. Свойство полноты меры Лебега. Мера Лебега-Стилтьеса. Описание конечных мер на борелевской алгебре B(R). Разложение меры Лебега-Стилтьеса на дискретную и непрерывную компоненты. Абсолютно непрерывные и сингулярные меры. Критерий абсолютной непрерывности меры.Измеримые функции
Прообраз кольца относительно отображения. Измеримые функции и их свойства. В-измеримые функции. Измеримые функции на пространстве с мерой. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. Сходимость по мере. Взаимосвязи между различными типами сходимости.Интеграл Лебега
Определение интеграла Лебега. Свойства интеграла. Предельный переход под знаком интеграла (теоремы Лебега, Леви, Фату). Замена переменной в интеграле Лебега. Сравнение интеграла Римана и интеграла Лебега. Неопределенный интеграл Лебега. Заряды. Свойство ограниченности заряда. Теорема Хана. Абсолютно непрерывные функции множества. Теорема Радона-Никодима. Абсолютно непрерывная и сингулярная компоненты меры. Произведение полуколец множеств. Меры в произведениях множеств. Теорема Фубини. Интеграл по σ-конечной мере.Полные метрические пространства
Пополнение метрического пространства. Теорема о существовании и единственности пополнения. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Принцип сжимающих отображений. Обобщенный принцип сжимающих отображений. Применения к интегральным уравнениям. Вполне ограниченные множества в метрическом пространстве. Критерий компактности метрического пространства. Критерий предкомпактности множества в пространстве непрерывных функций.Основные принципы линейного анализа
Конечномерные нормированные пространства (эквивалентность норм, полнота). Существование элемента наилучшего приближения относительно конечномерного подпространства. Шкала банаховых пространств Lp(µ). Операции над банаховыми
пространствами (прямая сумма, фактор-пространство). Нормированное пространство всех ограниченных линейных операторов из одного нормированного пространства в другое. Изометрический изоморфизм нормированных пространств. Пополнение нормированного пространства. Простейшая теорема вложения. Сопряженное пространство. Пространства Lp(µ)∗. Продолжение ограниченных линейных отображений по непрерывности. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Второе сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха-Штейнгауза) и ее следствия. Теорема об открытом отображении и ее следствия (теоремы об обратном операторе, об эквивалентности норм, о замкнутом графике).Ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве
Существование и единственность элемента наилучшего приближения относительно подпространства. Теорема об ортогональном разложении. Ортогональные суммы гильбертовых пространств. Процесс ортогонализации Грама. Сепарабельные гильбертовы
пространства. Изоморфные гильбертовы пространства. Условия изоморфизма гильбертовых пространств. Теорема Рисса. Сопряженное пространство к пространству Гильберта. Принцип равномерной ограниченности для гильбертовых пространств. Билинейные формы в гильбертовом пространстве и их связь с операторами. Сопряженный оператор к ограниченному линейному оператору. Свойства сопряженного оператора. Алгебра B(H) всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Ортопроекторы. Унитарные операторы. Оператор Фурье-Планшереля. Конечномерные операторы и их представление. Компактные операторы. Некомпактность тождественного оператора в бесконечномерном пространстве. Свойства компактных операторов в гильбертовом пространстве (оператор, сопряженный к компактному; замкнутость класса компактных операторов относительно предельного перехода по норме; полнота пространства компактных операторов; аппроксимация компактных операторов конечномерными операторами; замкнутость линеала R(1 − A) для компактного оператора A). Интегральные компактные операторы.Элементы теории неограниченных линейных операторов
Плотно заданные (неограниченные) операторы в гильбертовом пространстве и операции
над ними. График линейного оператора, расширение линейного оператора. Замкнутые и
замыкаемые операторы и их свойства. Замыкание оператора. Сопряженный оператор к плотно заданному линейному оператору и его свойства. Эрмитовы и самосопряженные операторы. Условие самосопряженности оператора. Операторы умножения на независимую переменную и дифференцирования в L2(R). Аналитические вектор-функции и их свойства. Резольвентное множество и спектр замкнутого оператора, их свойства. Резольвента замкнутого оператора. Спектр самосопряженного оператора. Спектр унитарного оператора.Уравнения с компактными операторами
Строение спектра компактного оператора. Теоремы Фредгольма и Рисса-Шаудера. Теорема Гильберта-Шмидта (спектральная теорема для самосопряженного компактного оператора). Каноническая форма компактного оператора. Уравнения Фредгольма 1-го и 2-го родов (интегральная и операторная формы). Теоремы о разрешимости уравнений Фредгольма 2-го рода. Случай симметричных и вырожденных ядер.Элементы нелинейного анализа в нормированных пространствах
Производная Фреше отображения и ее свойства. Локальный экстремум функционала. Необходимое условие локального экстремума. Оценочная формула Лагранжа. Интеграл от вектор-функции со значениями в банаховом пространстве. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Достаточное условие локального экстремума функционала.