Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов

2-е издание. — М.: Наука, Физматлит, 1996. — 400 с.Книга предназначена для первоначального ознакомления с теорией случайных процессов. Подчеркивается связь этой теории с фактами функционального анализа. Основное внимание уделяется не выкладкам и не доказательству теорем в окончательной форме, а объяснению сути применяемых методов на простом по возможности материале. В ходе изложения дается около 250 задач различной трудности и разного характера (упражнения, примеры, части доказательств, обобщения и т.п.); примерно для двух третей из них приведены решения. Во втором издании добавлены параграфы о сходимости распределений в функциональных пространствах и о компенсаторах случайных функций. Издание предназначен для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов.Предисловие ко второму изданию.
Предисловие к первому изданию.
Введение.
Основные понятия.
Что такое случайный процесс?
Примеры случайных процессов. Винеровский процесс.
Обзор методов теории случайных процессов.
Важнейшие классы случайных процессов.
Элементы случайного анализа.
Сходимости, непрерывности, производные, интегралы.
Стохастические интегралы от неслучайных функций.
Некоторые понятия общей и корреляционной теории случайных процессов.
Связанные со случайной функцией 0-алгебры и пространства случайных величин.
Операторы сдвига.
Задачи наилучшей оценки.
Корреляционная теория стационарных (в широком смысле) случайных процессов.
Корреляционные функции.
Спектральные представления.
Решение задачи линейного прогнозирования.
Бесконечномерные распределения. Свойства с вероятностью.
Распределения случайных функций. Теорема Колмогорова о конечномерных распределениях.
Свойства с вероятностью 1.
Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и плотности.
Слабая сходимость бесконечномерных распределений.
Марковские моменты, свойства независимости от будущего [147].
Марковские моменты.
Свойства независимости от будущего.
Мартингалы.
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы.
Компенсаторы.
Неравенства и равенства, связанные с мартингалами.
Теорема о сходимости супермартингалов.
Марковские процессы. Основные понятия.
Марковские процессы и марковские семейства.
Различные формы марковского свойства. Конечномерные распределения.
Семейства операторов, связанные с марковскими процессами.
Однородные марковские семейства.
Строго марковские процессы.
Стационарные марковские процессы.
Марковские процессы с непрерывным временем. Свойства траекторий. Строго марковское свойство.
Свойства траекторий.
Строго марковское свойство для феллеровских марковских семейств с непрерывными справа траекториями.
Инфинитезимальные операторы.
Инфинитезимальный оператор полугруппы.
Резольвента. Теорема Хилле—Йосида.
Инфинитезимальные операторы и марковские процессы.
Диффузии.
Что такое диффузия?
Результаты Колмогорова. Обратное и прямое уравнения.
Стохастические уравнения.
Стохастические интегралы от случайных функций.
Стохастический интеграл как функция верхнего предела.
Стохастические дифференциалы. Формула Ито.
Решение стохастических уравнений методом последовательных приближений.
Диффузии, задаваемые стохастическими уравнениями.
Связь диффузий с уравнениями в частных производных.
Уравнения, связанные с дискретными цепями Маркова.
Случай решений, допускающих гладкое продолжение.
Регулярные и сингулярные точки границы.
Решения задач.
Список обозначений.
Список литературы.
Предметный указатель.