Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Учебное пособие. – М.: ГУ ВШЭ, 1998. – 184 с. – ISBN: 5-7598-0047-7.
В учебном пособии в сжатой форме изложены основы линейной алгебры. Оно может быть использовано при различной конфигурации соответствующего учебного курса, в том числе краткого курса «Высшей математики». Помимо иллюстрирующих основной материал примеров, пособие содержит варианты экзаменационных задач.
Для студентов и преподавателей математических дисциплин экономических и технических учебных заведений.Оглавление.
Предисловие.
Преобразования матриц и системы линейных уравнений.
Схема метода Гаусса.
Обоснование метода Гаусса.
Приведение матрицы к ступенчатому виду.
Решение систем линейных уравнений со ступенчатой расширенной матрицей системы.
Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных.
Ненулевые решения однородной системы уравнений.
Определитель.
Определитель и элементарные преобразования.
Построение определителя разложением по столбцу.
Определитель транспонированной матрицы.
Вычисление определителя разложением по строке.
Линейные пространства.
Аксиомы и примеры.
Простейшие следствия аксиом линейного пространства.
Подпространство линейного пространства.
Простейшие свойства линейно зависимых векторов.
Базис и координаты векторов.
Существование базиса конечномерного пространства.
Размерность линейного пространства.
Алгебра матриц.
Свойства арифметических операций над матрицами.
Обратная матрица и формулы Крамера.
Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.
Преобразование координат при замене базиса.
Ранг матрицы.
Определение.
Неизменность ранга при элементарных преобразованиях.
Теорема о ранге матрицы.
Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).
Ранг произведения матриц.
Определитель произведения матриц.
Структура множества решений системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.
Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Структура множества решений системы линейных уравнений.
О выборе главных неизвестных.
Линейные операторы.
Матрица линейного оператора.
Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Характеристический многочлен линейного оператора.
О корнях характеристического многочлена линейного оператора.
Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.
Линейные, билинейные и квадратичные формы.
Формула линейного функционала.
Матрица билинейной формы.
Матрица симметричной билинейной формы.
Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса.
Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму.
Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Закон инерции для квадратичных форм.
Элементы аналитической геометрии.
Прямоугольные декартовы координаты.
Векторы на плоскости.
Векторы в пространстве.
Прямая на плоскости.
Прямая и плоскость в пространстве.
Евклидовы пространства.
Определение и примеры.
Неравенство Коши-Буняковского.
Неравенство треугольника.
Независимость попарно ортогональных векторов.
Ортогональная проекция вектора на подпространство.
Ортогонализация базиса.
Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
Самосопряженные операторы.
Сопряженность операторов в евклидовом пространстве.
Собственные векторы самосопряженных операторов.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Аффинные пространства.
Преобразование координат точки при замене системы координат.
Линейные отображения.
Линейные операторы, связанные с линейным отображением.
Аффинные и изометрические отображения.
Дополнение.
Некоторые экзаменационные задачи.
Исследование кривых второго порядка.
Классификация кривых второго порядка.
Инварианты уравнения второго порядка.
Эллипс, гипербола и парабола в канонических системах координат.
Центры и оси симметрии кривой второго порядка.
Построение канонической системы координат и канонического уравнения.
Формулы связи исходной и канонической систем координат.
Пример исследования кривой второго порядка.
Графики кривых, исследованных в данном разделе.
Линейные операторы и квадратичные формы в математическом анализе.
Библиографический список.
Предметный указатель.